微分中值定理证明

微分中值定理证明微分中值定理证明定理及其证明费马定理：设f(x)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(x)f(c)（c,c）（其中f(c)为局部最大值）或者f(x)f(c)（其中f(c)为局部最小值），当f(x)在c处可导时，则有f'(c)0． ''证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-(c)和右导数f(c)均存在且满足： f-'(c)f'(c)f'(c). (1)当f(x)f(c)时，当xc时，当xc时，f(x)f(c)f(x)f(c)0，所以f'(c)lim0 ...

微分中值定理证明定理及其证明费马定理：设f(x)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(x)f(c)（c,c）（其中f(c)为局部最大值）或者f(x)f(c)（其中f(c)为局部最小值），当f(x)在c处可导时，则有f'(c)0． ''证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-(c)和右导数f(c)均存在且满足： f-'(c)f'(c)f'(c). (1)当f(x)f(c)时，当xc时，当xc时，f(x)f(c)f(x)f(c)0，所以f'(c)lim0 xcxcxcf(x)f(c)f(x)f(c)0，所以f'(c)lim0 xcxcxc 所以f(c)0 (2)当f(x)f(c)时，同理也可证明f(x)f(c)这种情形。罗尔定理：设f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，若f(a)f(b)，则必有一点ca,b使得f(c)0．证明：分两种情况， (1) 若Mm，f(x)恒为常数，结论显然成立; (2) 若Mm，f(x)不恒为常数，f(a)f(b)，根据最大值、最小值定理（有界闭区间[a,b]上的连续函数f(x)具有最大值和最小值）可知，f(x)必在(a,b)内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，f(c)0． ''' 拉格朗日中值定理：设f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，则一定有一点a,b使f'()f(b)f(a)． ba 证明：分两种情况， (1) 若f(x)恒为常数，f(a)f(b)，则f'(x)0在a,b上处处成立，则结论成立; (2) 若f(x)在a,b不恒为常数，由于f(x)在a,b上连续，由闭区间连续函数的性质，f(x) 必在a,b上达到其最大值M和最小值m.①特殊情况f(a)f(b)时，由罗尔定理知该结论成立．②一般情形，f(a)f(b)，做辅助函数(x)f(x)f(b)f(a)x，ba 由连续函数的性质及导数运算法则，可得(x)在a,b上连续，在a,b上可导，且 bf(a)af(b).根据罗尔定理，可知在a,b内至少有一点，使得ba f(b)f(a)f(b)f(a)'()f'0，即f'，定理得证． baba(a)b 柯西中值定理：若f(x)和g(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且g'(x)0，则一定存在 'f(b)f(a)fa,b使． gbgag'证明：首先能肯定g(a)g(b)，因为如果g(a)g(b)，那么由拉格朗日中值定理，g(x)在a,b内存在零点，因此与假设矛盾．设辅助函数(x)f(x)'f(b)f(a)g(x)．显然，(x)在闭区间[a, b]上连gbga续，在开区间(a,b)内可导，且abg(b)f(a)g(a)f(b)；(x)适合罗尔定理g(b)g(a) f(b)f(a)g'()0，由此得g(b)g(a)的条件，因此在(a, b)内至少有一点，使'f' 'f(b)f(a)f'，证明完毕． gbgag 泰勒中值定理：若f(x)在xx0点的某个邻域内有n1阶连续导数，那么在此邻域内有 f"x0fnx02fxfx0f'x0(xx0)(xx0)...(xx0)n2!n! n1f(xx)n1 0n1! 其中是介x0与x之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理.

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