选修2-3概率、计数原理、二项式定理

第二讲　概率、计数原理、二项式定理　有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙2个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？分析：本题是有限制条件的排列问题，它们分别属于相邻问题、不相邻问题、顺序一定问题等模型，应采取相应的捆绑法、插空法、排除法等求解．【变式训练】(2014·北京模拟)科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,求不同的站法数.【解析】由于学生与其指导教师相邻,先将学生与其教师进行捆绑,形成三个整体,考虑到每个整体中教师与学生的顺序,以及三个整体的排列,因此共有=48种不同的站法.【典题3】(1)(2014·北京高考改编)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,求不同的摆法数.(2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,求满足条件的点的个数.【规范解答】（1）设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E，先把产品A与产品B捆绑，有种不同摆法，再与产品D，E全排，有种不同摆法，最后把产品C插空，有种不同摆法，所以共有=36种不同摆法.(2)把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9按除以3所得余数分类，共分三类：A.3k类：{0,3,6,9}；B.3k+1类：{1,4,7}；C.3k+2类：{2,5,8}(k∈Z).则满足条件的点的个数为：如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该院内，用A 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=______；           （2）P（B|A）=______．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取,设x表示直至抽到中奖彩票时的次数,则P(x=3)=袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。　车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法．多面手问题跟踪练习2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？【主干知识】1.必记公式（1）古典概型的概率公式:P(A)＝______________________.（2）几何概型的概率公式:P（A）=_________________________________________.【典题2】(2)(2014·辽宁高考改编)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,求质点落在以AB为直径的半圆内的概率.（3）互斥事件、对立事件的概率公式:P（A∪B）=______________；P（A）=________.（4）排列数公式：=_____________________＝_______(这里，m，n∈N*，且m≤n).（5）组合数公式：①=_____________________=_________(这里，m，n∈N*，且m≤n).②=1.P（A）+P（B）n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(6)组合数的性质：①②③④（7）二项式定理：①定理内容(a+b)n=_____________________________________.②通项公式：Tk+1=_________.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。设各车主购买保险相互独立。（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业 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进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1\2.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额为超过15万元的概率．某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是3\4，甲、丙两人都答错的概率是1\12，乙、丙两人都答对的概率是1\4，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率．(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A、B、C，由已知，P(A)＝，[1－P(A)][1－P(C)]＝，∴P(C)＝.又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.∴该单位代表队答对此题的概率P＝1－(1－)(1－)(1－)＝.(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，则ξ～B(10，)，∴E(ξ)＝10×＝(分)．而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，∴E(η)＝30E(ξ)－100＝≈184(分)．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率2.易错提醒（1）漏古典概型的事件数：求古典概型的概率时，计算基本事件总数与事件A所包含的基本事件数，易忽视部分情况而失误.（2）忽视几何概型中的区域特征：在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.（3）混淆事件“互斥”与“对立”的关系：两个事件互斥，不一定对立；但两个事件对立，则它们一定互斥.（4）忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序是否有关这一条件.（5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混，一定要区分开来.【考题回顾】1.（2014·广东高考改编）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，求取到字母a的概率.【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑先后顺序共有10种取法，分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，其中取到字母a的有4种：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，所求概率为p=2.（2014·浙江高考改编）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，求不同的获奖情况有多少种（用数字作答）.【解析】不同的获奖情况分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张，共有=36种，二是有三人各获得一张，共有=24种，因此不同的获奖情况有60种.3.（2014·湖北高考改编）若二项式的展开式中的系数是84，求实数a的值.【解析】因为Tr+1=·(2x)7-r·令7-2r=-3，得r=5，所以·22·a5=84，解得a＝1.热点考向一利用古典概型求事件的概率【考情快报】难度:基础题命题指数:★★☆考查方式:主要考查基本事件、古典典型公式,考查分类讨论思想的应用【典题1】(2014·泰安模拟)袋中有大小相同的五个小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为奇数,则把该球编号改为6后放回袋中,继续取球;若所取球的编号为偶数,则直接放回袋中,继续取球.(1)求第二次取到编号为偶数球的概率.(2)求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率.【信息联想】(1)看到第二次取到编号为偶数球,想到_____________________;(2)看到求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率,想到_____________________________.第一次取球有两种可能如何写出该事件所含的基本事件【规范解答】由题意得,从5个球中任取一球,共取2次,满足条件的两球所有可能的结果有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共25个.(1)记“第二次取到偶数球”为事件A,则事件A包含的事件为:(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(5,2),(5,4),(5,6)共13个.故所求事件的概率P(A)=.(2)记“两次取出的球的编号之差的绝对值小于2”为事件B,则事件B包含的事件为:(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,6)共11个.故所求事件的概率P(B)=.【互动探究】在本例题条件下,求两次取出的球的编号之积为奇数的概率.【解析】由例题解题过程知,基本事件的总数为25个,记“两次取出的球的编号之积为奇数”为事件C,则事件C包含的事件为:(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)共6个.故所求事件的概率P(C)=.【规律方法】利用古典概型求事件概率的关键及注意点(1)关键:正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.(2)注意点:①对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏.②当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.【变式训练】(2014·韶关模拟)为调查民营企业的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法从A,B,C三个城市中,抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个)城市民营企业数量抽取数量Ax4B28yC846(1)求x,y的值.(2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研,求这2个都来自城市A的概率.【解析】(1)由题意得所以x=56,y=2.(2)记从城市A所抽取的民营企业分别为a1,a2,a3,a4,从城市B抽取的民营企业分别为b1,b2.则从城市A,B抽取的6个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2).共15个,其中都来自城市A的有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共6个.故这2个都来自城市A的概率为【加固训练】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，-1)的夹角为θ，求θ∈(0，]的概率.【解析】因为cosθ=所以m≥n满足条件.m＝n的概率为，m＞n的概率为所以θ∈(0，]的概率为热点考向二利用几何概型求事件的概率【考情快报】难度:中档题命题指数:★☆☆考查方式:主要考几何概型的概念及求法,考查数形结合思想【典题2】(2)(2014·辽宁高考改编)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,求质点落在以AB为直径的半圆内的概率.（2）阴影部分为半圆，其面积S阴=π×12=，长方形面积S=2×1=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是【信息联想】(1)看到函数f(x)=x3-ax2+(a+2)x有极值,想到____________________________________________.(2)①看到将一个质点随机投入长方形ABCD中,想到__________________;②看到质点落在以AB为直径的半圆内,想到_______________.f′(x)为二次函数,且f′(x)=0有两个不同的零点长方形的面积公式半圆面积的求法【规范解答】(1)因为f(x)=x3-ax2+(a+2)x,所以f′(x)=x2-2ax+a+2,又因为函数f(x)=x3-ax2+(a+2)x有极值,所以(-2a)2-4(a+2)=4a2-4a-8=4(a2-a-2)>0,解得a<-1或a>2.又因为在区间[-2,3]上任取一个数a,所以所求的概率=（2）阴影部分为半圆，其面积S阴=π×12=，长方形面积S=2×1=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是【规律方法】几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(2)关键:寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.【变式训练】在区间[0,10]上随机取两个实数x,y,求事件“2x+y≥2”的概率.【解析】由题意在平面直角坐标系中作出对应的区域,及事件“2x+y≥2”对应的区域,如下图所示:所以事件“2x+y≥2”的概率为:【加固训练】有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率.【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，故点P到点O的距离大于1的概率热点考向三计数原理、排列与组合的应用【考情快报】难度:基础题命题指数:★★☆考查方式:主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理,排列与组合的应用问题【信息联想】(1)看到相邻问题,想到_______________;看到不相邻问题,想到_______________.(2)看到若x+y+z是3的倍数,想到将__________________________(3)看到将四位数从小到大排成一列,想到______________________________.可用捆绑法完成可用插空法完成x,y,z按除以3所得余数分类.依首位数字不同分类求解并排序（3）①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中选取，有=12个.②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有=24个.③形如“3××5”，同①有=12个.④形如“4××5”，同②，也有=24个.⑤形如“6××5”，也有=24个，以上5类小于7000的数共有96个.故第97个数是7025，第98个数是7045，第99个数是7065，第100个数是7205.【互动探究】题（3）中组成的没有重复数字的四位数中能被5整除的有多少个？【解析】分两类.一类形如“×××0”,有=180（个）.二类形如“×××5”,其中0当选有=48个.0不当选的有=72个.由分类加法计数原理得有180+48+72=300（个）.【规律方法】1.求解排列、组合问题的关注点排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘.2.排列、组合应用问题的常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法.(2)合理分类与准确分步法.(3)排列与组合混合问题先选后排法.(4)相邻问题捆绑法.(5)不相邻问题插空法.(6)定序问题缩倍法.(7)多排问题一排法.(8)“小集团”问题先整体后局部法.(9)构造模型法.(10)正难则反,等价转化法.【变式训练】(2014·北京模拟)科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,求不同的站法数.【解析】由于学生与其指导教师相邻,先将学生与其教师进行捆绑,形成三个整体,考虑到每个整体中教师与学生的顺序,以及三个整体的排列,因此共有=48种不同的站法.【加固训练】(2014·肇庆模拟)已知集合A={4},B={1,2},C={1,3,5},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,求确定的不同点的个数.【解析】依题意得:三个集合中,只有集合B,C中有一个元素相同为1,则按照入选的1的个数的不同进行分类计数.当没有1入选时,不同点的个数有=12;当只有一个1入选时,不同点的个数有=18;当有2个1入选时,不同点的个数有3个.综上可知:共有33个.热点考向四二项式定理的应用【考情快报】高频考向多维探究难度:基础题、中档题命题指数:★★★考查方式:主要考查二项式的通项公式、二项式系数、二项式指定项(特定项)等知识,近年与函数、不等式、数列等知识交汇,让二项式定理问题在命题中有了“生机”命题角度一与特定项有关的问题【典题4】(1)(2014·威海模拟)二项式的展开式中第4项为常数项,求该常数项.(2)(2014·浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),计算f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3).【信息联想】(1)看到展开式中第4项为常数项,想到_____________________.(2)看到(1+x)6(1+y)4的展开式中含xmyn,想到___________________________.二项展开式的通项公式xmyn由(1+x)6(1+y)4怎样构成的【规范解答】（1）由题意得：的展开式的常数项为得n=5，故所求的常数项为T4=(-1)3=-10.（2）由二项展开式的通项性质可知xmyn项的系数为f(m,n)=,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=命题角度二与二项式系数有关的问题【典题5】(1)在的展开式中x3的系数等于-5，求该展开式各项的系数的最大值.（2）(2014·天水模拟)二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，求其常数项.【信息联想】(1)看到展开式中x3的系数,想到______________________.(2)看到第5项的二项式系数最大,想到_________________.二项展开式的通项公式二项式系数的性质【规范解答】（1）由r=0,1,2，…,5，由5-2r=3得r=1，所以(-a)=-5a=-5，即a=1，所以r=0,1,2，…,5，当r=0时，(-1)0=1；当r=2时，(-1)2=10；当r=4时，(-1)4=5.所以该展开式中各项的系数中最大值为10.（2）因为仅有第5项的二项式系数最大，所以n=8,所以由由8-2r=0得r=4,所以其常数项是【规律方法】1.解决与二项式定理有关问题关键要掌握的五个方面(1)Tr+1表示二项展开式中的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定.(2)Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项.(3)公式中a,b的指数和为n,a,b不能颠倒位置.(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题.(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.2.与二项式定理有关问题的盘点类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解【变式训练】1.(2014·郑州模拟)展开式中只有第6项二项式系数最大，求展开式中的常数项.【解析】因为的展开式中只有第6项二项式系数最大，所以n=10，则由Tr+1=令=0，解得r=2，所以展开式中的常数项是2.(2014·烟台模拟)设a=sinxdx，求二项式的展开式中含有x2的项.【解析】因为a=sinxdx=（-cosx）|=2，所以的展开式的通项Tr+1=令3-r=2，得r=1，所以二项式的展开式中含有x2的项是T1+1==-192x2.【加固训练】(2014·漳州模拟)求的展开式中的常数项.【解析】由展开式的通项公式可得：Tr+1=依题意，令4-2r=0,得r=2,所以常数项为=6.