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试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.4B.5C.7D.25【答案】B【解析】【
分析
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】整理得，利用复数的模的公式计算即可。【详解】因为所以故选：B【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，属于基础题。2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出，，利用交集运算得解。【详解】由得：，所以由得：或，所以所以故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，还考查了求对数型函数的定义域，考查计算能力，属于基础题。3.等比数列中，若，，，则公比（）A.-2或2B.2或C.-4或4D.4或【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质得，结合，解得，即可得公比.【详解】在等比数列{an}中，由等比数列的性质得，结合，解得或，所以=2或=.故选：B【点睛】本题考查了求等比数列的公比，也考查了等比数列的性质，属于基础题.4.某工厂生产、、三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为，现用分层抽样的
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抽取一个容量为120的样本，已知种型号产品抽取了45件，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样的性质列方程，求出即可.【详解】∵用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，A种型号产品抽取了45件，又∵某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为m：3：2，∴根据分层抽样的性质得，解得.故选：C．【点睛】本题考查了分层抽样，注意分层抽样性质的合理运用，属于基础题.5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的的值为（）A.4.5B.6C.7.5D.9【答案】B【解析】当n=2,,当，当，结束则6.把点按向量移到点，若（为坐标原点），则点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】点按向量移动后得到点，设，求得,，再利用列方程组可得：，解方程组即可。【详解】因为点按向量移动后得到点，所以，设，则,又，所以，解得：所以故选：C【点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题。7.已知一个几何体的三视图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得：该几何体是一个正三棱柱，已知可得底面正三角形的高为，即可求得底面正三角形的边长为，再利用正视图由两个小正方形组成可得正三棱柱的高为，利用柱体体积公式计算即可得解。【详解】由三视图可得：该几何体是一个正三棱柱，由题可得：底面正三角形的高为，则底面正三角形的边长为因为正视图由两个小正方形组成，所以正三棱柱的高为，所以此几何体的体积为故选：C【点睛】本题主要考查了三视图还原及柱体体积公式，考查空间思维能力及计算能力，属于中档题。8.函数的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用为奇函数可排除B,D，再利用且时，可排除A，问题得解。【详解】因为为奇函数，所以排除B,D当且时，，排除A故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，可从奇偶性，单调性，函数值，对称性等方面逐一排除即可，考查转化能力及观察能力，属于中档题。9.中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（）A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【答案】A【解析】【分析】由、、依次成等差数列可得，利用余弦定理可得：，结合整理可得：，问题得解。【详解】因为、、依次成等差数列，所以由余弦定理可得：将代入上式整理得：所以，又可得：为等边三角形故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列概念及余弦定理，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题。10.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用表示点到原点距离的平方，结合图形即可得解。【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：求得区域的顶点分别为：,,因为，它表示点到原点距离的平方计算三点到原点的距离分别为：，，所以点到原点的距离最大所以的最大值是.故选：D【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识解决平方型目标函数最值，考查作图能力及计算能力，还考查了转化能力及两点距离公式，属于中档题。11.设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设点关于直线的对称点为，利用对称性列方程组求得，利用对称性可得，结合图像即可得当三点共线时，最大，问题得解。【详解】依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。12.已知函数f（x）＝ln（x2+1）﹣e﹣|x|（e为自然对数的底数），则不等式f（2x+1）＞f（x）的解集是（ ）A.（﹣1，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知f（x）为偶函数，且定义域为R，判断f（x）在定义域上的单调性，再利用偶函数的性质即可解得.【详解】当x＞0，y＝ln（x2+1）为（0，+∞）上递增，且y＝﹣e﹣|x|在（0，+∞）上递增，所以f（x）=ln（x2+1）﹣e﹣|x|在（0，+∞）上递增，由题意可知f（x）为偶函数，且定义域为R；所以f（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，由偶函数性质得：不等式f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，解得：x﹣1或x＞．故选：D．【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“，使得成立.”的否定是__________．【答案】，使得成立.【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出．【详解】根据特称命题的否定是全称命题，得“，使得成立”的否定是：，使得成立.故答案为：，使得成立.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．14.若正数满足，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式可得：，将转化成：，解得：或（舍去），检验等号成立即可。【详解】因为正数，所以成立.所以所以即：解得：或（舍去）当时，等号成立，即：时，等号成立.所以的最小值为【点睛】本题主要考查了基本不等式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题。15.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】(i)当a=0时,f(x)=−3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点，舍去。(ii)当a≠0时,f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−),令f′(x)=0,解得x=0或2a.①当a<0时,<0,当x<或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当
0,此时函数f(x)单调递增。∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则，无解，舍去。②当a>0时,>0,当x>或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当00,即−+1>0，a>0，解得a>2.综上可得：实数a的取值范围是(2,+∞).故答案为：(2,+∞).点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】利用椭圆的对称性及可得：点与原点重合，设，利用椭圆定义及可得：，，再对角分别在两个三角形中利用余弦定理列方程，整理可得：，问题得解。【详解】依据题意作出图形如下：因为为的中点，所以又，所以与原点重合.设，则，由椭圆定义可得：所以，在及中，由余弦定理可得：整理得：所以【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，还考查了向量运算及椭圆定义，考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力，属于难题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知函数的图像经过点和，，.（1）求；（2）设数列的前项和为，，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数f（x）＝log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，即可求出数列{an}的通项公式；（2）由等差数列的前n项和公式得=，进而求出=，再由数列的分组求和即可得.【详解】（1）由函数f（x）＝log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），得，解得，所以（2）由（1）知数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以=，得.【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，数列的分组求和，等差数列和等比数列的求和公式，属于中档题.18.如图所示，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，，SA＝SC＝SD＝2．（1）求证：AC⊥SD；（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，结合已知条件，利用勾股定理得AD⊥CD，SO⊥OD，故SO⊥平面ABCD，再利用三棱锥体积转化计算即可．【详解】（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC＝2，OS＝，∵AD＝CD＝，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝＝1．∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD，又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD，∴V棱锥B﹣SAD＝V棱锥S﹣ABD＝S△ABD•SO＝．【点睛】本题考查了线面垂直判定与性质，三棱锥的体积计算，考查了体积转化思想，属于中档题．19.某校组织的一次教师招聘共分笔试和面试两个环节，笔试环节共有20名大学毕业生参加，其中男、女生的比例恰好为，其成绩的茎叶图如图所示.假设成绩在90分以上的考生可以进入面试环节.（1）试比较男、女两组成绩平均分的大小，并求出女生组的方差；（2）从男、女两组可以进入面试环节的考生中分别任取1人，求两人分差不小于3分的概率.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）平均成绩等于各数据之和除以总人数，代入计算比较即可，根据方差的公式代入计算即可；（2）一一列举满足：男、女两组可以进入面试环节的考生中分别任取1人的基本事件，然后找到满足：两人分差不小于3分的基本事件，利用古典概型计算即可．【详解】（1）男生组的平均分为；女生组的平均分为所以男生组的平均分低于女生组的平均分.女生组的方差为：（2）抽取情况为：91，91；91，92；91，93；91，95；92，91；92，92；92，93；92，95；97，91；97，92；97，93；97，95．总共有12种．其中分差不小于3分的情况为91，95；92,95；97,91；97,92；97,93共5种．所以所抽取的两人中，分差不小于3分的概率为.【点睛】本题主要考查了平均数，方差的求法，以及古典概率的求法，关键是一一列举出所有的基本事件，属于基础题．20.已知抛物线：，直线：.（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；（2）设，，直线与抛物线交于不同的两点，，若存在点，使得四边形为平行四边形（为原点），且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，由题意得，解出即可.（2）因为四边形OACB为平行四边形，得，利用韦达定理得点，又因为，，通过数量积和不等式的运算，求出的范围即可.【详解】（1）由得由及，得.所以，所求的切线方程为（2）由得且，所以，因为四边形OACB为平行四边形，，即C，因为，又，即，因为，所以，当且仅当取等号，此时，.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，也考查平行四边形的性质和数量积和不等式的运算，属于中档题.21.已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若，且当时，恒有成立，求证：.（）【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）对求导得，判断的正负得的单调性，求其最小值即可；（2）由题意可得，令,则，再令，又，因为得单调递增，且，设，且，进而得的单调性并求其最小值即可得的范围.【详解】（1）由，得，令得显然，时，，函数f（x）单调递减；时，，函数f（x）单调递增.所以（2）由题意可得,令,则.令.又，时，，所以单调递增.由于,设，并记其零点为,故,且,所以当时,，即单调递减；当时,即单调递增,所以,因此,且,所以.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，也考查了参变分离，构造新函数利用导数求其函数的最小值，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.【答案】（1）的普通方程为．的直角坐标方程为（2）（-1，0）或（2，3）【解析】【分析】（1）对直线的参数方程消参数即可求得直线的普通方程，对整理并两边乘以，结合，即可求得曲线的直角坐标方程。（2）由（1）得：曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆，设点P的坐标为，由题可得：，利用两点距离公式列方程即可求解。【详解】解：（1）由消去参数，得．即直线的普通方程为．因为又，∴曲线的直角坐标方程为（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|即，整理得，解得所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）【点睛】本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）解集为R（2）－4≤≤1【解析】【分析】（1）化简得|x＋|＋|x－2|≥3，利用绝对值不等式的性质可得|x＋|＋|x－2|≥|+2|，结合即可得到恒成立，问题得解。（2）由化简得：|x＋|≤3，利用绝对值不等式的解法可得：－3－x≤≤3－x恒成立，问题得解。【详解】解：（1）|x＋|＋|x－2|-1≥2,即|x＋|＋|x－2|≥3∵|x＋|＋|x－2|≥|+2|又≥1，∴+2≥3∴不等式的解集为R.（2）若x∈［1，2］，f(x)＝|x＋|＋2－x-1，则f(x)＋x≤４等价于|x＋|≤3恒成立，即－3－x≤≤3－x，所以－4≤≤1【点睛】本题主要考查了化简能力及绝对值不等式的性质，还考查了转化能力及不等式恒成立问题的解法，考查计算能力，属于中档题。
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