第二章极限习
题
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及
答案
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：极限的四则运算分类讨论求极限例已知数列、都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，，设，为数列的前项和，求.（1997年全国高考
试题
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，理科难度0.33）解：.分两种情况讨论；（1）当时，∵，故，∴（2）当时，∵，∴极限．解：（1）（2）说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）（2）分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式（2）原式说明：当时，，因此．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）；（2）.（1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式.（2）原式.说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式（2）原式用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设，求．分析：把用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：或：逆用等比数列求和公式：原式说明：要注意p是与n无关的正整数，不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求分析：当时，所求极限相当于型，需要设法化为我们熟悉的型．解：说明：对于这种含有根号的型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知，求实数m的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：于是，即．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由可知，的极限必为0，而的充要条件是，于是解不等式．零比零型的极限例求．分析：这是一个型的极限，显然当时，直接从函数分子、分母中约去x有困难，但是当时也趋近于0，此时x化为，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设，则．解：设，则，于是，当时，．原式说明：本题采用的换元法是把化为，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题．例如对于，我们一般采用因式分解，然后约去，得到．其实也可以采用这种代换，即设，则当时，，这样就有组合与极限的综合题例A．0B．2C．D．分析：将组合项展开后化简再求极限．解：故应选D．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算2．若数列的通项公式是，则3．计算：1．解析说明：利用数列极限公式，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析说明：本题的思考障碍点是如何求？——只要懂得在通项公式中令，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例若，且存在，则A．0B．C．D．不存在分析：根据题设知和均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：又∴即选C．说明：是关键，不能错误地认为，．两个数列、的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但的极限不一定存在．化简
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达式再求数列的极限例求下列极限（1）（2）（3）分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式（2）原式（3）原式说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的
方法
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，不能认为而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限：（1）（2）分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式（2）当时，，当时，说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为．根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列的首项为，公比为q，且有，求的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围．解：由，得存在．∴且或．．当时，有，∴，∴解得，又，因此．当时，这时有，∴．综上可得：，且或．说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例求下列极限：（1）（2）（3）（4）分析：第（1）题中，在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）（2）（3）（4）说明：不能错误地认为，由于不存在，也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例求下列极限：（1）（2）分析：第（1）题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式（2）原式说明：如果分子、分母同乘以，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是．
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