2020年高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）（命题者的首选资料）1.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0
g(0)=0.因为,所以,即>0,从而————10分(Ⅲ)因为,所以,,所以————=1\*GB3①,————12分由(Ⅱ)知:,所以=,因为,n≥2,所以<<=————=2\*GB3②.————14分由=1\*GB3①=2\*GB3②两式可知:.————16分2.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的
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达式；⑵求证：；⑶求证：解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴3.（本小题满分14分）已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：解：（1），……………………2分故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3分，…………………………………………4分（2），……………5分①②②—①得，即③……………………8分④④—③得，即……………………9分所以数列是等差数列（3）………………………………11分设，则…………13分………………………………14分4.设（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（III）证明：①；②（n∈N，n≥2）.解：（I）由题意（II）由（I）知：令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分①，∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.………………………………………………5分②当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x)≥0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞），只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+∞)恒成立.∴g′(x)<0，∴g(x)在（0,+∞）单调递减，∴p<0适合题意.综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0(x>0)，设.当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分②由①知lnx≤x－1,又x>0，∴结论成立.…………………………………………………………………………14分5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：．解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，再将代入得成立，所以．（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，由得所以，从而．即．…………………………14分6.已知数列满足,，．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，且对于恒成立，求的取值范解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2) ∵a1＝5，a2＝5 ∴a2＋2a1＝15故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列…………5分（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n) 即an－3n＝2(－2)n－1故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n………9分（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－eq\f(2,3))n令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(2,3)＋2(eq\f(2,3))2＋3(eq\f(2,3))3＋…＋n(eq\f(2,3))n eq\f(2,3)Sn＝(eq\f(2,3))2＋2(eq\f(2,3))3＋…＋(n－1)(eq\f(2,3))n＋n(eq\f(2,3))n＋1…………11分得eq\f(1,3)Sn＝eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3＋…＋(eq\f(2,3))n－n(eq\f(2,3))n+1＝eq\f(eq\f(2,3)[1－(eq\f(2,3))n],1－eq\f(2,3))－n(eq\f(2,3))n+1＝2[1－(eq\f(2,3))n]－n(eq\f(2,3))n+1 ∴Sn＝6[1－(eq\f(2,3))n]－3n(eq\f(2,3))n+1＜6要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，只须m≥6…14分7.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列的最小项。解：（1）∵∴ (n≥2)…………3分由得，，∵，∴，…………4分即从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分（2）…………8分当n≥2时，∵是等比数列,∴(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即。…………11分（3）由（1）知当时，，所以，…………13分所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……显然最小项是前三项中的一项。…………15分当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；………16分当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；…………17分当时，最小项为2a+1。…………18分8.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．(I)写出，的值;(Ⅱ)试比较与的大小，并说明理由；(Ⅲ)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．解(1)，因为所以………………………………2分（2）因为所以…………………………………3分,……………………………………………5分因为所以与同号，………………………………………………6分因为，…，即……………………………………………………………………8分（3）当时，，……………………………………………………………………10分所以，……………………………………………12分所以…………14分9.已知，若数列{an}成等差数列.（1）求{an}的通项an;（2）设若{bn }的前n项和是Sn，且解：设2，f(a1),f(a2),f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+2－1)dd=2,…………………………（2分）……………………（4分）（2），10.（1）数列{an}和{bn}满足（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。（8分）（2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{bn}为证明：（1）必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d则∵∴{an}为是公差为的等差数列……4分充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d则∴当n=1时，b1=a1也适合∵bn+1－bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列…………4分（2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1其中（n=1，2，3…）…………4分11.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①②M是与n无关的常数.（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W（2）设数列{bn}的通项为，求M的取值范围；（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且（1）解：设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=－2，所以……………………………………2分由=－1＜0得适合条件①；又所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②综上，{Sn}∈W………………………………………………4分（2）解：因为所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；当n=1，2时，，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7所以M≥7………………………………………………8分（3）解：假设存在正整数k，使得成立由数列{cn}的各项均为正整数，可得因为由因为……………………依次类推，可得设这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有成立.(16分)12.数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，，；当时，，.解答下列问题：（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）记数列的前项和为，若已知当时，，求.（Ⅲ）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.解：（Ⅰ）当时，，当时，，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列.…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，，所以所以，，…（7分）又当时，，故.（8分）（Ⅲ）当时，，由（2）知不成立，故，从而对于，有，，于是，故，…………（10分）若，则，，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.（12分）而，因而，是满足的最小整数.（14分）13.已知数列中，，．（1）求；（2）求数列的通项；（3）设数列满足，求证：解：（1）（2）eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)—eq\o\ac(○,2)得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以14.已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．解：（Ⅰ），，……………3分又，数列是首项为，公比为的等比数列．……5分， 即. ………………6分（Ⅱ）．．………………9分（Ⅲ），．……………………10分当时，则．，对任意的，．………………………14分15.设数列满足，且数列是等差数列，数列是等比数列。（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。解（1）由已知，公差………1分………2分＝………4分由已知………5分所以公比………6分………7分（2）设………8分所以当时，是增函数。………10分又，所以当时，………12分又，………13分所以不存在，使。………14分16.数列的首项，前n项和Sn与an之间满足（1）求证：数列{}的通项公式；（2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.解：（1）证明：∵…………（1分）∴，∴，∴………………（3分）∴，………………（5分）数列为首项，以2为公差的等差数列。（6分）（2）由（1）知∴∴…………（7分）设，则…………（10分）∴上递增，要使恒成立，只需∵∴………………（12分）17.数列，=1\*GB2⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。=2\*GB2⑵设，证明：当时，.解:设，即……………………………(2分)故……………………………(4分)∴………(5分)又……………………………………………………………………(6分)故存在是等比数列……………(7分)=2\*GB2⑵证明：由=1\*GB2⑴得∴，故………………………………………………(8分)∵…………………………(9分)∴……………………………………（11分）现证.当，故时不等式成立………………………………………………（12分）当得，且由，∴……………………………………（14分）18．已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）设a>0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），现证：时，对成立。n=1时，成立;假设n=k(k≥1)时，成立，则，即n=k+1时，也成立，时，a的取值范围是。19.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，，求证：。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），……①，②，①－②得：，20．设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.求证：M点的纵坐标为定值；若Sn=f(∈N*，且n≥2,求Sn;已知an=，其中n∈N*.Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围.（1）证明：∵∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=(y1+y2)=［f(x1)+f(x2)］=(+log2=(1+log2=(1+log2=(1+log2∴M点的纵坐标为定值.（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,Sn=f(Sn=f(,两式相加得：2Sn=［f()+［f()+…+［f()=∴Sn=(n≥2,n∈N*).(2)当n≥2时,an=Tn=a1+a2+a3+…+an=［()=(由Tn＜λ(Sn+1+1)得＜λ·∴λ＞∵n+≥4,当且仅当n=2时等号成立,∴因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）21．已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列的首项为b，公比为a，其中a，，且（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于任意N*，总存在N*，使，求b的值；（Ⅲ)甲说：一定存在使得对N*恒成立；乙说：一定存在使得对N*恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：（Ⅰ）∵ ，a，N*，∴ ∴ ∴ ∴ ∴ a＝2或a＝3．∵当a＝3时，由得，即，与矛盾，故a＝3不合题意． ∴a＝3舍去，∴a＝2．（Ⅱ），，由可得． ∴．∴是5的约数，又，∴ b＝5．(Ⅲ)若甲正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，，无解，所以甲所说不正确．若乙正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，，只有在时成立，而当时不成立，所以乙所说也不成立．22.正项数列（1）求；（2）试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式成立；（3）求证：解：（1）………………………………4分（2）由（3）将展开，…………14分23.,,…,是首项为1,公比为2的等比数列.对于满足0≤k≤20的整数k,数列,,…,由=确定.记C=.求：⑴k=1时,C的值(保留幂的形式)；⑵C最小时,k的值.（注：=++…+）简解：⑴可求得=(1≤n≤20),k=1时,=C=+-.⑵C=+=+=≥,当且仅当时,即=,k=10时,C最小.24.在数列中，（Ⅰ）试比较与的大小；（Ⅱ）证明：当时，.解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有，………………………………6分（Ⅱ）证法1：由已知得，又.当时，…………………………………10分设①则②①-②，得……………………14分证法2：由已知得，当时，由，知不等式成立。………8分假设当不等式成立，即，那么要证，只需证即证，则只需证………………10分因为成立，所以成立.这就是说，当时，不等式仍然成立.根据（1）和（2），对任意，且，都有……14分25．设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（Ⅱ）若，其中，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：解：（Ⅰ）令，则无穷数列{an}可由a1=1，给出.显然，该数列满足，且…………6分（Ⅱ）……………………………………8分又26.在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.已知n+2个不同数的排列的逆序数是2.（1）求（1，3，40，2）的逆序数；（2）写出的逆序数an（3）令.解：（1）…………4分（2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有个大小关系…………8分（3）…………14分27．已知数列的前项和为，且对于任意的，恒有，设．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式和；（Ⅲ）若，证明：．解（1）（6分）当时，，得．∵，∴当时，，两式相减得：，∴．∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列．（2）（4分）由（1）得，∴．∴．（3）（6分），，由为正项数列，所以也为正项数列，从而，所以数列递减．所以．另证：由，所以．28已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当k为奇数时，；（Ⅲ）求证：解（Ⅰ）∵为等比数列，∴应为常数，∴得=2或=－3…………………………2分当=2时，可得为首项是，公比为3的等比数列，则①当=－3时，为首项是，公比为－2的等比数列，∴②①－②得，………………4分（注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（Ⅱ）当k为奇数时，∴……………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，…………10分①当n为偶数时，②当n为奇数时，=………………12分29.已知,数列满足以下条件:(1)求数列的通项公式;(2)数列是有限数列时,当时,求点存在的范围;(3)数列是无限数列时,当时,将点存在的范围用图形表示出来.解:(1),,则,.,,则,.(2)数列是有限数列时,设项数为.当时,,,.点在线段上.(3)当时,,即,由得点存在的范围在如图阴影部分内.30.设f1(x)=，定义fn+1(x)=f1［fn(x)］，an=（n∈N*）.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)=f1［fn(0)］=,∴an+1====-=-an.∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n1.（2）∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n1+2na2n，∴T2n=(-a1)+(-)2a2+(-)3a3+…+(-)(2n-1)a2n－1+2na2n=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n.两式相减，得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n.∴T2n=+n×(-)2n1=-(-)2n+(-)2n1.T2n=-(-)2n+(-)2n1=(1-).∴9T2n=1-.又Qn=1-，当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn；当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn；当n≥3时，，∴9T2n＞Qn.
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