第二十四章一元二次方程学习新知
检测
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反馈24.2解一元二次方程（1）
九年级数学
九年级数学上期末考试六年级数学试题及答案九年级数学教学计划九年级数学二次函数九年级数学上册测试题
上新课标[冀教]学习新知一桶油漆可刷的面积为1500dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2.根据题意，得10×6x2=1500，整理，得x2=25.根据平方根的意义，得x=±5.即x1=5，x2=-5.(不合题意，舍去)答：其中一个盒子的棱长为5dm..1.根据平方根的意义，解下列方程：(1)(2)解：（1）根据平方根的意义得x=，∴x1=2，x2=-2.（2）根据平方根的意义得x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1=1，x2=-3.思考：方程的左右两边满足什么形式时，利用平方根的意义，可以直接开平方解一元二次方程？2.解下列方程：（1）（2）思考下列问题并回答：(1)方程（2）与方程（1）的区别是什么？方程(1)左边可以化简成完全平方式，方程（2）左边不是完全平方式.(2)把常数项移项，如何把方程（2）的左边化成与方程（1）的左边相同？移项，得x2＋2x＝3，根据等式的性质，方程两边同时加1可以化成与（1）的左边相同. （3）能不能配方后解方程？配方后用直接开平
方法
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可以求解.∴x1=1，x2=-3.解：（1）原方程可化为（x+1)2=4,∴x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，（2）原方程可化为，，即∴x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1=1，x2=-3.做一做先把下列方程化为的形式，再求出方程的根.⑴（3）（2）（4）根据完全平方公式填空：(1)x2+2x+( )2=(x+__)2；（2）x2-4x+( )2=(x-_)2；（3）x2-6x+( )2=()2；(4)x2+x+( )2=( )2.11223x-3x+解：（1）原方程可化为,即∴x+1=±7，∴x+1=7或x+1=-7，∴x1=6，x2=-8.（2）原方程可化为即∴x-2=，∴x-2=4或x-2=-4，∴x1=6，x2=-2.（3）原方程可化为，即∴x-3=，∴x-3=2或x-3=-2，∴x1=5，x2=1.（4）原方程可化为即归纳总结：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.（4）解出方程的根.配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项（常数项移到方程右边）；（2）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（3）开平方；例1用配方法解下列方程：（1）（2）解：⑴移项，得配方，得即两边开平方，得所以(2)移项，得配方，得即两边开平方，得所以做一做用配方法解方程：（1）该方程能不能按上边的方法先移项，然后直接配方？观察方程移项后，二次项系数不为1，所以不能直接配方.（2）观察该方程和上边方程有什么区别？二次项系数不为1.（3）如何把二次项系数化为1？根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得.(4)根据上边的
分析
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，尝试完成解方程.解：移项，得2x2+4x＝－1，二次项系数化为1，得x2+2x＝－，配方，得x2+2x+1＝－+1，（x+1）2=,∴x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-.例2用配方法解方程：.解：移项，并将二次项系数化为1，得配方，得,即两边开平方，得所以知识拓展1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，主要解形如（ax＋b）2=c（c≥0）的一元二次方程，解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果.3.方程（ax＋b）2=c中，当c＜0时，方程没有实数根.5.用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.4．配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为1）.3．解一元二次方程的基本思路：降次——把一元二次方程化为（x+h）2=k（k≥0）的形式后两边开平方，使原方程变为两个一元一次方程.课堂小结1.依据平方根的概念可解形如（ax＋b）2=c（c≥0）的一元二次方程.2.通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.（5）求解（解一元一次方程）.4.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项（把常数项移到方程的右边）；（2）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；（3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；检测反馈1.如果代数式2x2-6的值为12，则x的值为（）A.3B.C.±3D.-解析：由题意可得2x2-6=12，移项，得2x2=18，系数化为1，得x2=9，直接开平方，得x=±3，故选C.C2.方程（1-x）2=2的根是（）A.-1,3B.1,-3C.1-，1+D.-1，+1解析：直接开平方，得1-x=±，即1-x=或1-x=-，解得x1=1-，x2=1+，故选C.C3.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11解析：移项，得x2-8x=-15，两边同时加一次项系数一半的平方，得x2-8x+（-4）2=1，故选B.B解析：二次项系数为1时，完全平方式中常数项是一次项系数一半的平方，故填9，3，、3；935.x2＋2x－5＝0配方后的方程为________．解析：移项，得x2＋2x＝5，两边同时加1，得x2＋2x+1＝6，配方得（x+1）2＝6，故填（x+1）2＝6.（x+1）2＝66.用配方法解方程．（1）x2-4x+4=5；(2)3(x-1)2-6=0；（3）x+2x-3=0；（4）9y2-18y-4=0.解：（1）化简得（x-2）2=5，直接开平方得x-2=±，所以x-2=或x-2=-，解得（2）移项得3（x-1）2=6，系数化为1，得（x-1）2=2，直接开平方得x-1=，即x-1=或x-1=，所以（3）移项，得x2+2x=3，两边同时加1，得x2+2x+1=4，配方得（x+1）2=4，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1=1,x2=-3.（4）移项，得9y2-18y=4，两边同时除以9，得y2-2y=，两边同时加1，得y2-2y+1=+1，配方得（y-1）2=，∴y-1=或y-1=-∴y1=1+，，y2=1-.
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