PAGE湖南省衡阳市第八中学2020学年高一数学上学期第三次月考试题请注意：时量150分钟满分150分一、单选题（每小题5分，共计60分）1．已知，则=（）A．B．C．D．2．下列结论中正确的是（）A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台3．函数的零点所在的大致区间是（）A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D是△ABC中BC边上的一点，且D离B比D离C近，又AD∥y轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中（）A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ADC．最长的是AD，最短的是ACD．最长的是AB，最短的是AD5．已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．2B．1C．-2D．-56．在一个长方体中，已知，，，则从点沿
表
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面到点的最短路程为（）．A．B．C．D．157．设函数，则函数的图像可能为（）A．B．C．D．8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（）（容器壁的厚度忽略不计）A．B．C．D．9．已知，则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．设，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，，那么；（2）若，，，那么；（3）若，，那么；（4）若，，则,其中正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）11．函数的定义域为D，若存在闭区间,使得函数同时满足:（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“3倍值区间”的有（）A．①③B．②③C．②④D．①②③④12．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A．B．C．D．填空题（每小题5分，共计20分）13．求值：.14．已知三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝2，PA⊥PB，则三棱锥PABC的外接球的体积为.15．设常数，则方程的解的个数组成的集合是.16．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；②存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；③存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直．其中正确结论的序号是________．三、解答题（第17题10分，18-22每小题12分，共计70分）17．（10分）已知集合，集合（1）当时，求，；（2）若，求a的取值范围.18．（12分）如图所示，有一块矩形铁皮ABCD，，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：（1）矩形铁皮AD的长度；（2）做成的圆锥体的体积.19．（12分）如图三棱柱中且，底面ABC是边长为2的等边三角形，点D是的中点.（1）求证：̸̸平面；（2）求异面直线与所成角的大小.20．（12分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备。已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益=总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.21．（12分）已知四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，，M为棱AE的中点．（1）求证：AE⊥平面CMF；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值.22．（12分）已知函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有成立，则称此函数具有“性质”（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，则求出a的值；若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知函数具有“性质”且函数在R上的最小值为2；当时，，求函数在区间上的值域；（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数，在恰好存在2个零点，求b的取值范围.高一第3次月考数学试卷参考答案C．因为，则A∩B＝．B．因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D错误.B．因为函数解析式为，则，，所以，即零点所在的大致区间为（3，4）B．由题意得到原△ABC的平面图为：其中，AD⊥BC，BD
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
可得：·················4分∴················6分（2）由（1）可得：圆锥的母线长，底面半径，······················8分则圆锥的高为：·········································10分∴圆锥的体积为：····································12分解：连接交于点O，连接DO····································1分（1）证明：在三棱柱中得：点O为的中点，又点D是的中点，即DO为∆的中位线···········2分∴DO//···········································3分又∵，··············5分∴̸̸平面···································6分（2）由（1）可得：//DO又∵····································7分∴异面直线与所成角为直线DO与所成的角即为：·········································9分又∵······················10分由几何关系可得：···········11分∴在∆BOD中：∴即异面直线与所成角度为：·················12分解：由题意可得：（1）···································5分（2）由（1）可得：当时，···················6分当时，；··········································8分当时，为减函数，则··························10分∴当时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大····························11分最大利润为：（万元）······································12分解：如图所示：连接CE、AC、DB········································1分（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且∴即∆CAE为等腰三角形又∵M为棱AE的中点，得：AE⊥CM·········································2分∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，得：ED//FB又，则四边形BDEF为平行四边形∴又正方形ABCD，∴即∆AEF为等腰三角形∴AE⊥MF·································································3分又AE⊥CM，············4分∴AE⊥平面CMF··························································5分（2）取AD的中点N，连接MN、BN········································6分∵点M、N分别为AE、AD的中点∴MN为∆ADE的中位线∴MN//DE·······························································7分又∵DE⊥平面ABCD∴MN⊥平面ABCD························································8分∴MN为斜线BM过点M向平面ABCD的一条垂线，垂足为点N，则斜线BM在平面ABCD内的射影为BN，直线BM与平面ABCD所成角为，设··········10分由几何关系可得：··················11分在中得：··························12分解：（1）假设具有“性质”，则恒成立， ················1分等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，所以，解得；··········································3分（2）∵函数具有“性质”则∴···················································4分又∵当时，，在单调递减∴当时，得：，又得当时，，在单调递增·······················5分∴函数的最小值，得：················6分∴当时，，单调递减此时的值域为：···············································7分（3）既具有“性质”，即，则函数为偶函数， 又既具有“性质”，即，··················9分 且当时，作出函数的图象如图所示：∵函数，在恰好存在2个零点∴与在恰好有2个交点······························10分∴·······················································11分∴即b的取值范围为：·········································12分
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