“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类
标准
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要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由
参数
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的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2020年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1对等比数列公比q的分类讨论；对n奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．例1设等比数列的公比为，前n项和．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)设，记的前n项和为，试比较与的大小．
分析
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：由于涉及等比数列的前n项和公式的应用，须分和讨论．欲比较与的大小，只须求出与后，再用作差法比较．解：(Ⅰ)因为是等比数列，当上式等价于不等式组：①或②解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1
0且－1<<0或>0．=1\*GB3①当或时即；=2\*GB3②当且≠0时，即；=3\*GB3③当或=2时，即．点评：该例中在使用等比数列的前n项和公式，须分和讨论，不要忽视的情况．在第二小问中，抓住，利用等比数列的通项公式，巧妙的把转化成最后，作差比较与，即，为确定差的符号，故对进行分类讨论．重点2指数函数和对数函数的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a进行分类讨论．解：令，则外层函数为．①若a>1，则内层函数在上是增函数，其值域是，要使函数在区间上是增函数，所以需要外层函数在上是增函数，所以对称轴，，这与a>1矛盾；②若0
答案
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选B.点评：在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径.四、扫雷先锋易错点一:分类标准不合理致错例1：求函数的值域.错解：，当时，，；当时，，，则所以值域为．错解分析：函数式变为应该有前提条件，所以此题的求解没有注意到开始就要分类讨论，只注重了后面的讨论.正解：(1)当时，；（2）当时，，同上可求得.所以值域为.评注：象上述这类问题求解时一定要注意何时分类讨论、分类的标准是什么，弄清这两点，才能少出错.易错点二:讨论不彻底致错例2：函数在上无零点，则实数的取值范围为．错解：若，则有；若，则有.所以实数的取值范围为.错解分析：直接把函数当成了二次函数，忽视了时函数为一次函数的讨论．正解：时，如上述解题过程；时，，零点为，符合题意，所以实数的取值范围为.评注：在对参数分类讨论时，注意特殊情况不要漏掉，考虑问题一定要全面.易错点三:答案格式混写致错例3：解不等式错解：当时，；当时，.综上知，原不等式的解集为.错解分析：两种答案是在不同条件下求得的，不能取并集，应该分开写.正解：当时，；当时，.综上知，原不等式的解集：时，解集为；时，解集为.评注：求解含有参数的问题时，在对参数讨论后所得到的答案是不是取并集，要根据题意合理选取，切不可死搬硬套.五、规律总结（分类讨论“探索因”）分类讨论是一种典型数学思想方法．引起分类讨论的原因有哪些呢？请看下文分析：1.定义引发的分类讨论数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论．例如：⑴去绝对值号时，不知道数或式的正负，需要按照实数绝对值的定义分类讨论去掉绝对值号，才能使式子简化，便于问题的求解；⑵等比数列求和公式中和1的关系不同，公式不一样，用公式求解问题时，若不知道公比和1的关系，要分类讨论，确定所选求和公式，便于进一步计算．例１：求下列数列的前n项和：，…解：，时，；时，.2.参数范围引发的类别讨论研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论．例如：⑴利用指数函数和对数函数的性质求解问题时，不知道底数和1的关系时，要对底数分为和分类讨论，确定函数单调性，再用单调性或相关性质求解某些问题.⑵求解方程或不等式时，讨论最高次项系数系数与零关系，可确定方程或不等式类别，然后材可确定求解策略.⑶求解方程或不等式时，最高次项系数的符号影响到答案形式的选择，通过分类整合系数符号，可以快速定型，然后再定量求解即可．例２：函数在区间上为减函数，则范围为.解析：当时，在上为减函数；当时，二次函数对称轴为，只需保证，解得．综上知，的范围为．3.各种满足题目条件的情况较多引发的分类整合（１）在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论．例如：①求解圆锥曲线方程时，如果长短轴的长度都确定，焦点位置不定时，可以分两种情况对答案进行整合；②求解直线方程问题，可以对直线的斜率存在和不存在两种情况分类整理．例３求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解析：截距相等分为直线过原点(斜率存在且不等于0)和直线斜率为两种情况：（１）直线过原点(斜率存在且不等于0)：设直线方程为，将的坐标代入方程得：，则直线方程为，可以化为．（２）直线斜率为时，直线方程为，可以化为．综上知，所求直线方程为和．（２）含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答.例５ 不超过1000的正整数中，各数位上都不含数字7的有多少个？ 分析：将满足条件的数字分为：一位数、两位数、三位数、四位数四种情况讨论． 解：涉及共10个数字． 一位数有8个；两位数分两步先取十位再取个位数有（个）； 三位数先取百位、十位、再取个位数有（个）；四位数只有１个． 故各数位上都不含数字7的不超过1000的正整数共有（个）．引起分类讨论的原因还有很多，这里不在赘述．无论哪种原因，都要注意分类标准要明确，分类不重不漏．六、能力突破（教你几个避免分类讨论的“绝招”） 1.消去参数，避免分类讨论 例1：已知，比较与的大小． 分析：若按常规解法去绝对值须分和讨论．但注意到两对数同底，可用作商比较法，通过换底公式可消去参数，可避免对参数的分类讨论． 解：．因为，所以，即．故>． 评注：若将题设条件改为，则必须对进行分类讨论：当时，同上；当时，=；当时，同理得<． 2.分离参数，避免分类讨论 例2 若不等式对恒成立，求实数的取值范围．分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决． 解：原不等式等价于．当时，显然成立；当时，因为，所以，则有恒成立，只需．因为,当，即时取“=”，即，所以． 评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件． 3.主参换位，避免分类讨论 例3设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围． 分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可．解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有． 评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益． 4.数形结合，避免分类讨论 例4 设关于的方程有解，求实数的取值范围． 分析：若按常规解法,需要先去绝对值号，再考虑的符号时需对和的大小关系进行分类讨论；采用数形结合，使问题变为数轴上和的最小值与5的大小关系问题，就不必分类讨论了．解：的几何意义是数轴上的动点到两个定点和的距离之和，若此和小于5有解，则根据数轴可以看出，动点到两个定点和的距离之和的最小值为必须小于5，即.所以的范围是．评注：利用数形结合解题的关键是抓住“数”的几何意义，挖掘问题中隐含的条件．本题解答的关键在于注意到了的几何意义.以上是几种避免分类讨论的典型方法，希望同学们学好用好.七、高考风向标考查方向一：考查对函数或方程不等式等所含主元的分类分析求解考向分析：本考向主要考查方程或不等式中只含有一个主元，主元的范围影响到式子的进一步化简，这是需分类分析主元范围，从而进一步化简表达式，达到求解的目的．例１（０８年广东理14题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．分析：将问题转化为关于实数的不等式，再根据实数绝对值的含义分类整合去掉绝对值号求解.解：方程即，即，利用绝对值的几何意义，此不等式可以化为以下三个不等式组：不等式组（1）解集为；不等式组（2）的解集为；不等式组（3）的解集为.由以上可得实数的取值范围为.评注：含有两个或多个绝对值号的表达式往往通过每个绝对值号对应的零点将实数集分为几段，然后将表达式分成几部分，分类整合求解.考查方向二：考查对含参问题的分类讨论求解．考向分析：本考向主要考查求解方程、不等式、函数等问题时，若表达式中含有参数，则需分类讨论参数的取值范围进行求解．例２（08山东理21题（1））已知函数，其中，为常数．当时，求函数的极值.分析：解：由已知得函数的定义域为，当时，，所以．（1）当时，由得，此时．时，，单调递减；时，，单调递增．（2）当时，恒成立，所以无极值．综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．当时，无极值．评注：本题中函数所含有的参数为，而的范围影响到了答案的求解，此时就要对参数进行分类讨论，进一步确定答案考查方向三：考查对不同情况的分类整合考向分析：本考向主要考查满足题意的情况若有多种，且不易同时求解，此时需对多种情况分类整理求解答案．例3（08海南宁夏卷9题）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种分析：根据甲可能的值班日期，利用加法原理，分类整合求解.解：分类计数：甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法，甲在星期三有种安排方法，总共有种．评注：上述问题在高中数学中常见，属于分情况求解，最后合并答案的一类问题，注意分类标注要明确得当，使问题易于求解．
反思
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应试策略：考试中遇到上述三类问题时，注意先弄清问题属于讨论主元还是讨论参数，是分情况求解最后整合，还是分类讨论；注意明确分类的标准或依据、注意何时分类整合、注意答案的书写格式．另外要掌握常见的一些典型的分类讨论问问题，掌握课本基础知识中常用的分类讨论的基本概念和公式．高考对分类整合思想的考查综合性较强，涉及的知识较多，希望同学们复习时熟练掌握与分类整合有关的基础知识，复习有的放矢，策略得当，准确求解，保证与此有关的考高题目不丢分．八、沙场练兵一、选择题1．，则（）A．B．C．D．不确定2．集合，，若，那么的范围是()A.B.C.D.3．的值域为，的取值范围为（）A．B．C．D．4．函数的值域是（）A.B.C.D.5．过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A.B.C.或D.不能确定6．若，则的取值范围是（）A.B.C.D.7．，是正常数，下列结论正确的是（）A.当时有最小值0B.当时有最大值0C.无最大值，且无最小值D.有最小值但无最大值8．到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是（）A.7B.6C.5D.49．函数在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则的值为（）A.B.或C.D.以上答案均不正确10．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为（）A.B.C.D.或11．四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法的种数为（）A.936B．276C．132D．25612．已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．过点的抛物线的标准方程为 ．14．如图，已知一条线段，它的两个端点分别在直二面角的两个平面内移动,若和平面所成的角分别为，则的范围为.15．已知函数，（1）若,则的定义域是;(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.16．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数的值为．参考答案一、选择题：1．C．提示：，所以是第一或第二象限角，若是第一象限角，则；若是第二象限角，则.2．B.提示：，.若,则，此时满足；若因为，所以有，解得：；综上知，实数的取值范围为，选B.3．D．提示：令，则要求t能取到所有大于0的实数，当时，t能取到所有大于0的实数;当时，且Δ.综上知：，选D.4．B．提示：当时，，当时，，所以选B．5．C．提示：直线的截距相等，则直线过原点或直线斜率为，当直线过原点时，斜率为，则直线方程为，即；当直线斜率为时，直线方程为，可化为，所以选C．6．C．提示：.当时，有，所以；当时，有，所以，总之，，选C.7．C．提示：当时，，二次函数图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数有最小值，为，所以；当时，，二次函数图象开口向下，对称轴为，所以当时，函数单调递减，则.综上知，值域为，所以函数无最值，选C.8．A．提示：不共面的四个点构成空间四边形，所以与四个顶点距离相等的平面分两类：（1）过交于一点的三条棱的中点且与一个面平行的平面，有4个；（2）与一组对棱平行且过另外四条棱中点的平面，共有3个.综上知，满足条件的平面共有7个，选A.9．B．提示：,对称轴为.当时，函数在上单调递增，所以；当时，函数在上单调递减，所以；综上知，或，所以选B.10．D．提示：若2是正三棱柱的高，4是底面周长，则底面边长为，所以底面面积为，则体积为；若4是正三棱柱的高，2是底面周长，则底面边长为，所以底面面积为,则体积为,所以选D．11．A．提示：现在按男孩甲前面的男、女孩的人数来分类.第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有(种)；第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：(种)；第三，甲前面仅有一个女孩，有：(种)；∴满足条件的站法为：(种).选A.12．B．提示：当时，显然不符合题目条件；当时，因，当即时结论显然成立；当时，只需，解得；综上知，实数的取值范围是，选B．二、填空题：13．或．提示：若抛物线开口向上，则可设其标准方程为，将点的坐标代入方程得：，所以，则抛物线方程为；若抛物线开口向右，可设抛物线的标准方程为，同理可求得抛物线方程为.14．．提示：(1)当时，.(2)与l不垂直时，在平面内作，为垂足，连结，∵平面⊥平面，∴平面，∴是与平面所成的角，即，在平面内作，垂足为，连结，同理，在和中，，,即,∵和均为锐角，∴，而，∴.(3)若与重合，则.综上讨论可知.15．．提示：（１）要使原函数有意义，则需，因为，所以有，则定义域为；（２）若，则，函数在区间上恒为减函数；（２）当时，原函数在定义域内恒为增函数，不符合题意；当时，由题意知，，所以．所以实数a的取值范围是．16．４．提示：①若，则不论取何值，显然成立；②当，即时，可化为：．设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；③当，即时，，可化为，此时恒成立，所以在区间上单调递增，因此，从而．综上知＝4．九、实战演习一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式ax+b＞0的解集不可能是（）A．φB.RC.（+∞）D.（-∞，-）2．已知定义在R上的偶函数f(x)在x∈上是增函数，且的取值范围是（）A．（）（2，+∞）B.（0，）C．（0，）（2，+∞）D.（2，+∞）3．已知椭圆，则m等于（）A．2或8B.1或4C.2或4D.1或84．从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条能组成三角形的概率为（）A．0B.C.D.5．过点C（1，2）作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（）A．-1B.±1C.-1或2D.±1或26．设函数的值为（）A．aB.bC.a、b中较小的数D.a、b中较大的数7．指数函数在[0，1]上的最大值与最小值之差为3，则a=()A.4B.-2C.-2或4D.38.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是()A、[)B、[)C、()D、()9．已知函数且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.0B.100C.-100D.1020010．已知函数在上是减函数,则的取值范围是()ABCD11．若sinα＞tanα＞cotα（），则α的取值范围是（）A．（）B.（）C．（0，）D.（）12．若a=（x，1）,b=（2，3x），那么的取值范围是（）A．（-∞，）B.[0，]C.[,]D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．方程的解为.14．已知集合M={z│z=in+(-i)n，n∈}，则集合M中元素的个数为.15．在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1,则边长c=.16．设的解集为..三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解关于x的不等式：．18．（本小题满分12分）试求点P（0，a）到曲线y=上的点距离的最小值.19．（本小题满分12分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1,2,3,…）.（1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2-an+1,记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.20．（本小题满分12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆O：x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.21．（本小题满分12分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。22．数列中，．(1)求通项公式；(2)当n为偶数时，证明．参考答案一、选择题：1．C分a＞0,a=0,a＜0三种情况情况讨论.2.C根据函数的奇偶性、单调性分讨论.3.A按椭圆的焦点位置分类。4.B分类求得构成三角形的个数。5.C根据C（1，2）的位置分成两类，一是过原点，二是与x,y正半轴相交。6.C分a>b,a1,01和00,x=0,x<0讨论，再用均值不等式求解即可.二、填空题：13．x=log2314.2.对取值分类。15.2由正弦定理得.16.（1，2）（）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：原不等式，①当a>0时，由数轴标根法，原不等式解集为；②当a=0时，原不等式解集为；③当a<0时，原不等式，由数轴标根法，得原不等式解集为．18．解：设曲线上任上一点为M（x,y），则其到P点的距离为d=.∵x2≥0,∴a≥0时，dmin=;a<0时，dmin=|1+a|，此时x=0.19．解：（1）由{an}是等比数列且Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0.当q=1时，Sn=na1>0；当q≠1时，Sn=.上式等价于由①得q>1，由②得-10，-10,∴当-12时，Tn>Sn；当-0}.∵ON⊥MN，|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.设动点M的坐标为（x，y），则，即（λ2-1）（x2+y2-4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故此方程为所求的轨迹方程.当λ=1时，方程为x=,它是垂直于x的轴且与x轴相交于点（，0）的直线；当λ≠1时，方程化为,它是以为半径的圆.21.解：令对函数求导数：令解得1)当时,对所有所以在上是增函数.又所以对有即当时,对于所有都有2)当时,对于所以在是减函数,又所以对有即所以,当时,不是对所有的都有成立.综上,的取值范围是22．解：(1)①当n为奇数时，设，，所以奇数项是首项，公差为1的等差数列，此时，即，②当n为偶数时，设，，，…………以上各式分别相加，得．综上，所求通项公式为．(2)，，得证．
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