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复变函数于积分变换讲义

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复变函数于积分变换讲义第六章保形映射z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,a

复变函数于积分变换讲义
第六章保形映射z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,a0映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)[解法一]在x轴上任意取定三点:z1=-1,z2=0,z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1,w2=i,w3=-1,则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同,由(6.3.1)6.3.1)式得所求的分式线性映射为化简后即得注意:如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于(6.3.3)的分式线性映射.此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多.[解法二]将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周.因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1.由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0,从而所求的分式线性映射具有下列形式:其中k为常数.反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1.因为当z取实数时即把实轴映射成|w|=1.又因为上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.3)必将Im(z)>0映射成|w|<1.例4求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1且满足w(2i)=0,argw‘(2i)=0的分式线性映射.故有从而得所求的映射为解:由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.3)得例5求将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1a[解]设z平面上单位圆|z|<1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|<1的中心w=0.这时与由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得所以|k'|=1,即k'=eij.这里j是任意实数.因此,将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|<1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.例6求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射.[解]由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由((6.3.5)得例7求将Im(z)>0映射成|w-2i|<2且满足条件w(2i)=2i,argw‘(2i)=-p/2的分式线性映射.[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i|<2映射成|z|<1.但将Im(z)>0映射成|z|<1且满足z(2i)=0的映射易知为2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)§4几个初等函数所构成的映射1.幂函数w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn例1求把角形域00.又从上节的例2知,映射(z)OO(z)1(w)z=z4例3求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j00-单位圆外)j=y:z平面上水平直线y映射成w平面上射线j。带形域00的一个映射.O(t)(b-a)i例6求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDxOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a[解]不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a.第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)<+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.
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