《线性代数》常见证明题型及常用思路(4)《线性代数》常见证明题型及常用思路、证明题题型1关于1,K,m线性相关性的证明中常用的结论(1)设11Lmm0，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明 1,K,m必全为零，则1，K,m线性无关；如果能得到不全为零的1,K,m使得等式成立，贝S1,K,m线性相关。2) 1,K,m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。时候我们设0，进而由0,根据题设条件1，K,mW1， 1,K,tW2的线性无关得到系数全为零。题型2.关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义(3)设B{1,...
《线性代数》常见证明题型及常用思路、证明题题型1关于1,K,m线性相关性的证明中常用的结论(1)设11Lmm0，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明 1,K,m必全为零，则1，K,m线性无关；如果能得到不全为零的1,K,m使得等式成立，贝S1,K,m线性相关。2) 1,K,m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。时候我们设0，进而由0,根据题设条件1，K,mW1， 1,K,tW2的线性无关得到系数全为零。题型2.关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义(3)设B{1,K,n}是单位正交基,Ub(X1，K,Xn),vB(y「K,yn)。则(u,v)x$L x“yn5题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1)初等变换不改变矩阵的秩(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3)阶梯形的秩(4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(AB)r(A)r(B);r(AB)min{r(A),r(B)};r(A)r(AT)r(ATA);AmaX{r(A)'r(B)}"A®rBT r(A)r(B)；ArBr(A)r(B);Ar(A)r(B)rCr(A)r(B)r(C);BAmnB0r(A)r(B)n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(Amn)r(B)nr(AB)。证:nr(AB)EnrEA 0r(A)r(B)A0上面第二个等号是用A左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。（6） 利用齐次线性方程组解的结构（dimN（Amn）nr（A）），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7） 利用向量组的秩与维数主要是两个结论：（i）矩阵的秩二列秩二行秩（ii）dimkerdimlmdimkerr（） 的定义域的维数（8） 利用行列式秩（9） 利用相抵标准形题型4.关于可逆矩阵常用结论（1） 结论:A可逆AXb有唯一解|A|0。（2） 结论:A,BMn（F）可逆AB可逆。（3） 结论：A可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4） 结论:A可逆当且仅当0不是它的特征值。题型5.关于矩阵对角化的常用结论（1）结论：A相似于BCs.t.AC1BC。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵（3）特征值与特征向量的定义（4）结论：是A的特征值 |EA|0。（5） 结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6） 结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。（7） 结论：AXXh（x）F[x],h（A）Xh（）X。（8） 结论：课本P242定理7.8。（9） 结论：课本P242推论。（10） 结论：课本P243定理7.10。（11） 结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型6.关于二次型的常用结论厂（1） 定义：二次型的矩阵。（2） 定义：相合关系。（3） 实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。（4） 定义：课本P263定义7.12与P269定义7.12（5） 实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。（6） 结论：课本P264定理7.17、7.18、7.19（7） 结论：课本P269定义下面的内容重要建议：最好把课本第七章内容全部记住!
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