第五章-向量空间

第五章向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统(定义了代数运算的集合)，现代数学所涉及的欧氏空间、U空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道，在n元向量集和mXn矩阵集中，都分别定义了加法和数乘运算，并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论，不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解，同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外，向量空间的理论和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在自然科学、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1向量空间的概念定义1设V是一个非空集,F是一个数域•如果：V中定义了一个加法.Va、卩wV,V中有唯一确定的元与它们对应，这个元称为a与卩的和，记为a+卩.F到V有一个数量乘法.VkwF,VawV,V中有唯一确定的元与它们对应，这个元称为k与a的数量乘积，记为ka.加法与数量乘法满足以下算律：Va、B、ywV,Vk、lwF1。a+卩=卩+a；2。(a+B)+y=a+(卩+y)；3。OwV，称为V的零元，有0+a=a；4。—awV，称为a的负元，有a+(—a)=O；5。k(a+卩)=ka+kB；6。(k+1)a=ka+la；7。(kl)a=k(la)；8。la=a,那么称V是数域F上的一个向量空间.向量空间V的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:Va、卩wV,Vk、lwF,有ka+lBwV.由于运算是线性的，也将向量空间称为线性空间.例1Fn为数域F上所有n元向量构成的集,对向量的加法和数乘,Fn是F上的一个向量空间.例2M(F)二{(a)IawF},M(F)对矩阵的加法和数量乘法构成F上的一个ijmXnij向量空间.例3在解析几何里，平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间•分别记为V,V.23例4令C［a,b］为定义在区间［a,b］上的一切连续函数所构成的集•对函数的加法，实数与函数的乘法，C［a,b］是实数域上的向量空间.例5复数域C是实数域R上的向量空间•任意数域都是它自身上的向量空间.由定义1,可以推出向量空间V的如下几个性质：在向量空间V中，零向量是唯一的.事实上，若0与0都是V的零向量，便有0=0+0=0121122V中每一向量的负向量是唯一的.事实上，VawV,若a,a都是a的负向量，即有a+a=0,a+a=0,那么212a=a+0=a+(a+a)=(a+a)+a=0+a=a11121222规定a-卩二a+(-0).在V中,0a=0；k0二0；k(—a)=(—k)a=—ka.事实上，0a+a=oa+la二(o+i)a=la=a.等式两边同时加上(-a)，得oa=0.故(i)式成立.由k0+k0=k(0+0)=k0，两边加上(—k)0，得k0=0，即(ii)式成立.由k(—a)+ka=k(—a+a)=k0=0，即k(—a)是ka的负兀，所以k(—a)=—ka.同样可得(—k)a=—ka.4.在V中，如果ka=0,则k=0或a=0.事实上,若ka=0，而k丰0,那么：(ka)=0=0.又(ka)=(—k)a=1a=a,故kkkka=0.此外，由于V中的加法满足交换律、结合律,V中s个向量相加，可以任意交换各项的次序，任意添加括号，所得结果都相同.定义2设V是数域F上的向量空间,W匸V,W打.如果Va、卩wW,VkeF，有a+卩eW,kaeW，(1)那么称W是V的一个子空间.由定义，V的子空间一定含V中的零向量(aeW,则oa=0eW)•如果W是V的子空间，那么W也是数域F上的向量空间•这是因为W对V的加法和F到V的数量乘法封闭，而定义1中的算律1。至8。在V中成立，在W中当然成立.例6.由向量空间V的零向量构成的集{0}是V的子空间，称为零空间.V自身是V的子空间•这两个子空间都称为V的平凡子空间.例7.Fn中一切形如(a,a，…，a,0),a.eF12n—1i的向量构成的集是Fn的一个子空间.定义2中的条件(1)可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为:Va、0eW,Vk、leFka+l0eW.(2)反之,若(2)成立，则W是V的一个子空间.事实上，在(2)中，令k=l=1，得a+0eW；令l=0，得kaeW，由定义2,W是V的子空间.在向量空间V中,我们可以依照3.2中n元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念，从而得出相应的结论.从形式上说，这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算，已经不局限于n元向量及其运算.在此，不再一一列出.现设V是数域F上的向量空间，V中的s个向量a,a，…,a的一切线性组合构成的TOC\o"1-5"\h\z12s集s={ka+ka+…+ka|keF,i=1,2,…,s}1122ssi是V的一个子空间.事实上，Va、0eS,VkeF,令a=ka+ka+•••+ka,0=la+1a1122ss1122+…+1a，那么a+0与ka仍为a,a，…,a的线性组合，即有a+0eS,kaeS•故ss12sS是V的子空间，它称为由a,a，…,a生成的子空间，记为L(a,a，…,a),12s12sa,a，…,a称为生成向量.12s下面我们看一个例子.m个方程n个未知量的齐次线性方程组AX=0,它的所有解向量的集T=d|Aa=0,a为n元列向量>是F的非空子集.若a、PgFn(a、卩为n元列向量),有Aa=0,AP=0,那么VkgF，则A(a+P)=0,A(ka)=0.即Va,PgT,kgF，有a+pgT,kagT.因此T是Fn的一个子空间.由于AX=0的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合，若n,n，…,n是ax=0的一个基础解系，那么a、p可表示为12n-rn,n，…,n的线性组合，于是t包含于生成子空间L(n,n，…,n)•即2n-r12n-rt匸l(n,n,…,n).12n-r反之，任取pgL(n,n,…,n)，令12n-rp=kn+kn++kn,kgF为常数，i=1,2,—,n一r，1122n-rn-ri那么，ap=A(kn+kn+…+kn)=0，即pgt.因而L(n,n，…,n)ut.1122n-rn-r12n-r故t=l(n,n,…,n).12n-rFn的子空间L(n,n，…,n)称为齐次线性方程组ax=0的解空间.12n-r最后，我们给出子空间的和的概念。定义3设W,W是数域F上的向量空间V的两个子空间，令12W+W={a+a|agW,agW}，12121122称W+W为子空间W与W的和.1212下面证明W+W是V的子空间.事实上,由agWuV,agWuV，知121122a+agV，因而W+W匸V.W+W至少含W与W的公共零向量,故W+W丰Q.1212121212乂设k、lgF,a、pgW+W，即有a=a+a，p=p+p，其中a,pgW，121212111a,pgW.因为W，W是V的子空间，所以ka+lpgW，ka+lpgW.于是2212111222ka+lp=k(a+a)+l(p+p)=(ka+lp)+(ka+lp)gW+W.1212112212故W+W是V的一个子空间•子空间的和可以推广到有限个子空间的情形.12习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.检验以下集合对于所指定的运算是否构成实数域R上的向量空间.⑴全体实对称矩阵对矩阵的加法和数量乘法；(2)在V中，不平行某一向量的全部向量构成的集,对向量的加法和数量乘法;2⑶在V中,对于向量的加法和如下定义的数量乘法：2ka=a,VkgR.2.3.证明：向量空间V如果含有一个非零向量，那么它一定含有无穷多个向量.判断Rn中下列子集哪些是子空间.(a,a，…,a)I工a12nii=1(a,a，…,a)I工a12nii=1=0>；=1,;(a,a，…,a)IagZi=1,2，…,n}.12ni4.5.W,W是向量空间V的子空间，证明WnW也是V的子空间.1212在V中，设W是过原点的平面上的所有向量的集合，W是过原点而与该平面相交的直312线上所有向量的集合•证明W,W都是的V子空间，WUW与W+W分别含有V中哪些向量？123121235.2基维数坐标在向量空间V中,只要有一个非零向量a,将a无限重复相加，就可以得到V中的无穷多个向量.这就是说，除零空间外，其余非零向量空间都有无穷多个向量.这无穷多个向量如何表示,这是需要我们解决的问题.在5.1中,我们提到了齐次线性方程组的解空间.齐次线性方程组若有非零解,则有无穷多个解,其中每一个解都可以表成基础解系的线性组合.仿照这一事实,我们首先给出定义1设a,a，…,a是向量空间V中的n个向量，如果TOC\o"1-5"\h\z12n（i）a,a，…,a线性无关；12n（ii）V中的每一个向量都可由a,a，…,a线性表出，12n那么，称a,a，…,a是V的一个基.12n由定义1知，任何非零向量空间都存在基.注意向量空间V的基与向量组的极大无关组的区别，前者是对无穷多个向量而言，而后者是在有限个向量中定义的.例1齐次线性方程组的任一个基础解系是它的解空间的一个基.例2在Fn中e二（1,0，…,0）,£二（0,1,0，…,0），…，£二（0,…,0,1）线性无关.TOC\o"1-5"\h\z12nnn*a=(a,a，…,a)eFn，a=a£+a£HFa£.12n1122故£,£，…,£是Fn的一个基,它称为Fn的标准基或自然基.12n例3设M2(F)=a11.a21a12a22'10\<00A,a,a,aeM(F),且线性无关.12342A=1，A2=aeFij，A3=，A4=rab、・rab、V&d丿eM(F),有2.cd丿故A,A,A,A是必（F）的一个基.12342二aA+bA+cA1FdA.234在^中,任何三个不共面的向量是它例4在V中,任何两个不共线的向量是它的基;2的基.向量空间的基一般不是唯一的.由定义1知,向量空间V的任意两个基等价，因而它们含有相同个数的向量.为此给出定义2向量空间V的一个基所含向量的个数，称为V的维数，记为dimV.零空间的维数是0.本教材所涉及的都是维数有限的向量空间.例2中，dimFn=n.例3中，dimM（F）=4.例4中，dimV=2,dimV=3.TOC\o"1-5"\h\z23 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 5.2.1设dimV=n，则V中任意n个线性无关的向量都是V的基.证设a,a，…,a⑴是V中n个线性无关的向量，卩,卩，…,卩（II）是V的一个12n12n基，那么⑴可由（II）线性表示.由替换定理知，⑴与（II）等价.代eV,g可由（II）线性表示，因而g可由（I）线性表示，根据定义1,a,a，…,a是V的基12n推论1若dimV=n，则V中任意n+1不同向量线性相关.(2)推论2若dimV—n，则V中任意r个（r的实数与它们对应,并且满足如下条件：=<0,a>；=+<0,y>；=k；20,等号当且仅当a二0时成立，其中a,0,y是V中的任意向量,k为任意实数,那么称为向量a与0的内积•此时称V对于这个内积来说是一个欧几里德空间(简称欧氏空间).例1V2,V3对⑴式确定的内积都是欧氏空间.例2在Rn里，对于任意两个向量a=(a,a,…,a),0=(b,b，…,b)，规定12n12n=ab+ab++ab(2)1122nn容易验证，定义1中的条件1)-4)被满足，是向量a与0的内积，Rn对这一内积作成一个欧氏空间.例3C［a,b］是定义在区间［a,b］上一切连续函数作成的向量空间•对C［a,b］的任意两个向量f(x)，g(x)，规定=Jbf(x)g(x)dx.a由定积分的基本性质知，定义1中的条件1)-4)被满足,是f(x)与g(x)的内积.C［a,b］对这一内积作成一个欧氏空间.由定义1中的条件1)-4),容易推出如下性质：1.VaeV,<0,a>=0.事实上，在条件3)中，取k二0即可.2.综合条件2)、3),Va,0，丫eV,Va,beR，有一般地,Va,0ijeV=a+b<0,y>.,a,beR,i=1,2,…，r；j=1,2,…，s.有ij=工》abiijjijiji=1j=1i=1j=1定义1中的条件4)>0,即是一个非负实数，因而的平方根有意义.定义2a是欧氏空间V中的一个向量，算术平方根v称为向量a的长度，记为|a|,即Ia1=J.显然,0,1a1=0•任何非零向量的长度都是一个正实数.长度为1的向量称为单位向TOC\o"1-5"\h\z小a量.如果a主0,是单位向量,如此来作成单位向量称为对a单位化.|a|在例2中,1a1=22+a2+…+a2.在例3中If(x)1=Jbf2(x)dx.'12n\a仿卩3中两个向量之间距离的概念，我们称弘-卩I为a与卩的距离，记为d(a,卩).下面我们给出欧氏空间中的一个重要不等式.定理5.4.1设a、0是欧氏空间中的任两个向量，则有HYPERLINK\l"bookmark142"\o"CurrentDocument"2w<卩,0>.⑶当且仅当a与0线性相关时(3)式才取等号.证设a,0线性相关，那么或者a=0,或者a=k0,此时均有2=<0,0>.若a,0线性无关，则对于任意实数k,ka+0丰0•于是>0.即有k2+2k+<0,0>>0.因此，该不等式左端关于k的二次三项式的判别式2一<0,0><0,即2<<0,0>.在例2中,(3)表为(ab++ab)2w(a2++a2)(b2++b2).11nn1n1n这就是柯西(Cauchy)不等式.在例3中,(3)表为bf(x)g(x)dx)2waJbf2(x)dxjabg2(x)dx.a这就是许瓦兹(Schwarz)不等式.最后，我们定义欧氏空间中两个向量的夹角.定义3设a,0是欧氏空间V的两个非零向量，满足等式cos0=|a||0|(4)的0称为a与0的夹角.由⑷式知，-1WrOTT0iw1•取0w0w"，则0是唯一的.(4)表明,a,0非零时,有=|aII0丨cos0,0为a与0的夹角.这样一般欧氏空间的内积表示形式与V中内积的表示形式趋于统一.3兀当J丰0,卩丰0,而＜u,卩＞=0时,e=厅,此时称a与卩正交.规定零向量与任意向量厶正交.如此有定义4a,卩是欧氏空间两个向量，若＜a,卩＞=0,则称a与0正交.欧氏空间中,向量的长度,两个非零向量的夹角,以及两个向量的距离,都与作成欧氏空间的内积有关.一般地,在同一实向量空间中,不同的内积作成不同的欧氏空间,因而计算长度,夹角，距离的结果一般也不相同•特别要指出的是，今后提到欧氏空间Rn，其内积都是由⑵给出.习题设a=(a,a,…,a),0=(b,b,…,b)是Rn的任意两个向量，规定12n12n＜a,0＞=ab+2abHFnab.1122nn证明Rn对此规定作成一个欧氏空间.在欧氏空间R4中,求向量a与0的夹角0:a=(2,1,3,2),0=(1,2,-2,1)；a=(1,2,2,3),0=(3,1,5,1).设a,0是欧氏空间的任意两个向量，证明Ia+0丨wla|+|0I.当a,0都是非零向量时,在什么情况下可以取等号？设a,0,Y是欧氏空间中的向量，证明d(a,丫)wd(a,0)+d(0,y).并在V中,说明它的几何意义.3证明欧氏空间的子空间也是欧氏空间.5.5正交基在解析几何里,我们常常将所给的问题放在直角坐标系中来讨论.建立直角坐标以后,从原点出发，在坐标轴上取单位向量,它们分别构成V2或V的基，而且这种基是两两正交的•在这23种基下讨论问题,一般都显得十分方便.我们意图将这种基形式地引进到一般欧氏空间中来.由于欧氏空间是特殊的实向量空间,而且其中有了向量正交的概念,实现上述想法是完全可能的.我们已经知道，欧氏空间Rn的基£=(1,0,…,0)£=(0,1,…,0),…,£=(0,…,0,1)12n满足2)<£,£iji主ji=j.说明它们是单位向量,而且两两正交.那么,在一般欧氏空间中,如何将一个基转化为另一个基,使这个基的任意两个不同的向量正交.为此,我们首先给出定义1在欧氏空间V中，一组两两正交的非零向量，称为V的一个正交向量组(简称正交组).定理5.5.1正交组是线性无关的.证设a,a，…,a是欧氏空间的一个正交组.令12sTOC\o"1-5"\h\zka+ka+…+ka=0⑴1122ss由i丰j时，=0•因a丰0,所以ijiiiii丰0,于是得k二0,i=1,2,…,n.故a,a，…,a线性无关.iii12s定义2如果n维欧氏空间V的一个正交组含n个向量，那么称这个正交组是V的一个正交基.若正交基中每一个基向量都是单位向量,则称它为标准正交基.例上面提到的££，…,£是Rn的一个标准正交基.12n如果能将V中一个线性无关组，化为一个正交组，则V的任意一个基便可化为一个正交基,再将它单位化,便得到标准正交基.11为了说明问题,先设ai，a2是V2中两个线性无关的向量,我们希望将它们转化为两个正交向量.为此先取P=a,而与0正交的向量0,应满足1112<0,0>=0.12从右图看出0是a与0的线性组合.221令0“+k0，由221=+k<0,0>=02112111求得k=_02J，于是0=a-02010・<0,0>22<0,0>11111仿此，在一般欧氏空间V中，设a,a，…,a是V的一个线性无关组•按照上述方法，先取12s0=a，而后由a,0确定0，再由a,0,0确定0，使0与0,0正交•如此下去，一般112123213321=ak1—<0,0>01.此时<0,0>=-k*<0,0>=0,i=1,2,…,k-1.kiki<0,0>iiii这说明0,0,…,0是两两正交的.12k这样a,a，…,a便可化为一个正交组0,0，…,0•由此，我们有如下结论:12s12s任何非零欧氏空间都有正交基,从而有标准正交基.按照(2)式将一个基化为正交基的方法,称为正交化方法.当空间的维数较大时,在正交化过程中,计算内积的次数多,计算量较大,但是,目前对此尚无更好的方法.在一般向量空间中,我们讨论了一个基到另一个基的过渡矩阵P一，P_,…,P是欧氏空间V的两个标准正交基•令)二(a,a,…,a)U,•现设HQ2,…,an与12卩，P2,…，卩其中'u11u21u12u22u'Inu2nlun1un2u丿nn由于=<工ua,工ua>ijkikljlk=1l=1—uukiljklk=1l=1n—乙uukikjk=1因而n乙uukikjk=1、匕・・3)当i=j,当i丰j.(3)式说明,Ut的第i行元与U的第j列对应元乘积的和，当i—j时等于1,i丰j时等于0,即有UTU=E,(4)n或者U-1—Ut.定义3A是n阶实矩阵，如果A-1=AT,那么A称为一个正交矩阵.由定义3及前面的讨论,有定理5・5・2欧氏空间V的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.实n阶矩阵A的行向量、列向量都是Rn中的向量，判定A是否为正交矩阵,只要看A的第i个行(列)向量与它自身的内积(即第i行元的平方和)是否为1,而第i个行(列)向量与第j(j丰i)个行(列)向量的内积是否为0即可.正交矩阵有如下简单性质:正交矩阵是可逆矩阵.正交矩阵的行列式为1或-1.事实上,由(4)式,两边取行列式即得.若U是正交矩阵，则U的伴随矩阵U*也是正交矩阵.事实上，U是正交矩阵，那么U-1=UT.由U-1=诂亓U*，得U*=1UIU-1=1UIUT.而(U*)T=|UI(UT)T=|UIU.于是,(U*)tU*=IU|2UUT=1•E=E.故U*是正交矩阵.从定理5.5.2的推导容易得到定理5・5・3设U=(u)是正交矩阵，a,a，…,a是标准正交基，且ijnxn12n(B,卩，…,卩丿=(a,a,…,a)U，那么卩，卩，…,卩也是标准正交基.12n12n12n该定理说明,由一个正交矩阵和一个标准正交基可确定另一个标准正交基.一个向量在不同标准正交基下的坐标之间的关系,同样可建立如5.2中(7)式或(8)式所表示的坐标变换公式•只要(7)中的A为正交矩阵则可.习题1.a=(1,1,1),a=(0,1,2)是欧氏空间R3中的两个向量，试求一个单位向量卩，使卩12分别与a,a正交.122.已知a=(0,1,0),a12=(0,1,2),a3=(1,0,1)是欧氏空间R3的一个基,用正交化方法将此基化为标准正交基.3.设r111]朽101A=—逅迈121<76<6w'6丿证明A是一个正交矩阵.4.设a是欧氏空间V的一个向量,W是V的一个非空子集，若a与W中任一向量正交,那么称a与W正交,记为=0.令W丄={aI=0},证明W丄是V的子空间(W丄称为W的正交补空间).*5.证明,如果上三角形矩阵r、aa•…a11121n0a•…aA=…222n<00•…a/nn是正交矩阵,那么A定是对角形矩阵,其主对角线上的元素•是1或-1.ii