PAGE青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2020届高三数学4月联考试
题
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理一、选择题（每小题5分，共60分）1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，，1，2，，则 A．，0，B．，C．，D．3．已知向量，，且，则（ ）A．B．C．D．4．已知平面平面，交于直线，且直线，直线，则下列命题错误的是（ ）A.若，则或B.若，则且C.若直线都不平行直线，则直线必不平行直线D.若直线都不垂直直线，则直线必不垂直直线5.给出下列四个命题：①命题p：；②的值为0；③若为偶函数，则曲线处的切线方程是．④已知随机变量则．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4．6．已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是 A．B．20C．D．607．设实数，满足约束条件，则目标函数的取值范围是 A．B．C．D．8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的
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面积为 A．B．C．D．9.已知函数，，，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 A．B．C．D．10．已知命题：若且，则；命题，使，则下列命题中为真命题的是 A．B．C．D．11．点P在双曲线上，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．12.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是()A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13．设随机变量，则 ．14．已知递减等差数列中，，为，等比中项，若为数列的前项和，则的值为 ．15.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为 ．16.若函数，则__________．三．解答题：（本大题共70分）17．(本小题满分12分)已知在中，，且．（1）求角，，的大小；（2）设数列满足，前项和为，若，求的值．18．(本小题满分12分)经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248525862收缩压（单位114118122127129135140147其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；的值精确到（3）若规定，一个人的收缩压为
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值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？19.(本小题满分12分)在等腰中，，腰长为2，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上一动点，设直线，分别交直线于点，，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数，，．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的极小值；（3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．23．（本小题满分10分）已知函数，（1）解不等式；（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围．三校联考理科数学答案选择题BDDBBADBBADD填空题：13.；14.；15.；16.6三．解答题：17.解：（1）由已知，又，所以，又由，所以，所以，所以为直角三角形，，（2）所以，由．解得，所以，所以或．18.解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）(2)回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．19.（1）证明：取中点，连结、，在等腰中，，，、分别是边、的中点，，又翻折后，翻折后，且为等腰直角三角形，则，翻折后，，且，平面，，平面，则，又，平面，又，，且，是平行四边形，则，平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系．则，1，，，0，，，0，，，1，，，设，，，则，设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，要使平面，则须，，即线段上存在一点，使得平面，设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，，二面角为锐二面角，其余弦值为，即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），使得平面，此时二面角的余弦值为．20.解：（1）由已知，①椭圆过点，②联立①②得，，椭圆方程为；（2）设，，已知，，，，都有斜率，，③，，④将④代入③得，设方程y=k(x+2)，方程，，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为，则，，，，存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点．21.解：（1）因为，，切点故曲线在处的切线方程为，即．4分的定义域,，∴当时，或，,，∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，∴，当时，，综上，……………8分（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，当时，，在上递减，，由（2）知，在上递增，，∴，即，又，∴…………12分22.解：（Ⅰ）直线的参数方程为为参数），直线的直角坐标方程为．分曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．分（Ⅱ）将直线的参数方程为为参数）代入曲线的方程，得：，分，分．分．23.解：（Ⅰ）可化为，故，或，或；（2分）解得：，或，或；（4分）不等式的解集为，；（5分）（Ⅱ）易知；（6分）所以，又在恒成立；（7分）在恒成立；（8分）在恒成立；（9分）故（10分）
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