时间序列概论 (时域)
目录 (1-1页)
第1章. 应用背景 (2-2页)
1. 实际背景
2. 与连续过程的联系
3. 应用分类
第二章. 概率描述 (2-5页)
1. 无穷维分布族
2. 均值函数,自协方差函数与自相关函数
3． 时间序列的重要例子
4． 平稳序列
5． 线性平稳序列
6． 非线性平稳序列
7． 两种可逆性
第三章. 参数模型 (5-13页)
1． 线性序列的参数模型
2． 非线性序列的模型
3． 组合模型
4． 多项驱动噪声的模型
5． ARCH与GARCH模型
第四章. 预报分析 (13-19页)
1． 两种预报方法
2． 两种不同的线性概念
3． 新息序列与驱动噪声
第五章. 线性与非线性的差异与联系 (19-31页)
1． 研究方法的差异
2． 正反向模型的差异
3． 半参数模型
4． 时间序列与伪随机数
第六章. 多元序列与时空场 (31-34页)
1． 多元ARMA模型
2． 多元GARCH模型
3． 协整分析(Co-integration)
4． 时空场
参考文献 (34-35页)
第1章. 应用背景
1． 实际背景
一类是直接按离散时间记录的数据序列。比如, 某地区逐年的降雨量序列。
另一类是直接按连续时间记录的数据。在计算分析时, 需要对它们进行等间隔的离散时间取样, 于是便得到数据序列。比如, 心电记录的数据就是连续时间的曲线。再一类不是直接按时间记录的数据序列, 它们可以是其它间隔的数据序列, 即可以是有时间含义的, 也可不是。比如, 某人心跳间隔长度记录的数据序列。 又如, 某部章回小说逐回中所出现的某字(或词语)的数量序列。
最后还有两点值得一提: 其一, 随着科技的进步, 人类观测记录的能力不断高。 如心跳间隔长度的记录就是近代技术的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
现。 其二, 面对一个实际问题, 或者一个实际现象, 寻找到能够刻画其实质特征 (即使是部分特征也好)的可观测的数据序列, 这也是发挥创见的用武之地。 比如, 欲将概率统计应用于文史类有关问题的研究, 关键之一就在于选择科学的切入点, 其中就可能遇到常人难以想象到的有价值的观测数据序列。
2. 连续过程的联系
此现象在前一小节已提到, 这里只用数学公式表达如下:当x(t)是一连续记录值时, 其等间隔的离散时间取样为xk=x(kh), 对某个较小的h(>0), 和k=1,2,…
这里xk 就是一个时间数据序列。此类序列普遍存在于科学技术界的各个领域。
3. 应用分类
时间序列分析的应用, 大致可分为预报,诊断,控制和管理等方面。这里不详细介绍, 只是想提一下, 为了不同的应用目的, 对时间序列分析研究的侧重面也有所不同。 这与本文关系都不密切。
第2章. 概率描述
1. 无穷维分布族
若{xt; t(N}, N({…,-1,0,1,2,…}, 为一随机序列, 即时间序列, 它的全部概率特性, 被其相容的全体有穷维分布族决定! 即
Fx (
，
其中
Fn({F(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn); t1
0}为随机游动
当 xt=(e0+e1+…+et) 时, 其中{et }为i.i.d. 序列, 且et为只取0和1的二相分布, 则{xt ; t>0}为随机游动。它与前几个序列的本质差别在于,它具有发散性, 决不能成为后文中的平稳序列!
4. 平稳序列 (此时考虑N={…,-1,0,1,2,…}的情况)
(1).宽平稳序列: 指 m(t)=m; c(t,s) =c(t-s); 从而r(t,s)= r(t-s).
(2).严平稳序列: 指对每个整数s和t10. (3.4)
在(3.4)式中，只要取k=1,2,...,p, 再联合(3.3)式，就获得了模型(3.1)式中的参数(is和Eet2，与其自协方差函数c(t-s) 的一一对应关系。这是对此类模型进行统计的重要依据。但在本文中不再仔细讨论。
(2). 滑动平均(MA)模型
指
xt= et -(1et-1-(2et-2-...-(qet-q, (3.5)
其中{et}为i.i.d.序列（或者为鞅差序列）。 显然，上式中的{xt}就是形如(2.6)式的平稳序列。为了它具备第一种可逆性，需要如下条件：
1-(1x-(2x2-...-(qxq(0, 对一切 (x((1. (3.6)
仔细讨论此结论，繁琐而不难。称满足(3.5)式的{xt}为滑动平均(MA)序列。它的自协方差函数c(t-s)满足：
c(0)= ((12+(22+...+(q2)(2, (注意 (2( E et2)
c(1)= (-(1+(2(1+...+(q(q-1) (2
c(2)= (-(2+(3(1+...+(q(q-2) (2
...............
c(q)= -(q(2
c(k)=0, k>q. (3.7)
以上就是(is和 (2与自协方差函数c(t-s)的关系。
(3). 线性自回归滑动平均(ARMA)模型
指
xt=(1xt-1+(2xt-2+...+(pxt-p- (1et-1-(2et-2-...-(qet-q+et, (3.8)
其中{et}为i.i.d.序列（或者为鞅差序列）。为了保证(3.8)式有平稳解，系数(is 要满足平稳性条件(3.2)式；为了保证(3.8)式的平稳解具有第一种可逆性，系数 (is 要满足可逆性条件(3.6)式。它的解也可表成(2.6)式的线性序列的形式. 至于其它内容，只是上述的平行推广，无多实质内容。
(4). 求和自回归滑动平均(ARIMA)模型
以上都是平稳序列模型，而在实际中的确有很多不平稳的序列，所以有必要考虑非平稳序列模型。凡不平稳的，都叫非平稳序列模型，但不能泛泛地研究它们。在文献中, 常见的非平稳序列模型有：
yt =(j=1txj , t=1,2,... (3.9)
或者说，
(yt =yt-yt-1=xt , t=1,2,... (3.10)
其中{xt}是满足上述平稳性和可逆性条件的自回归滑动平均序列。考虑这样模型的原因至少有两个：一是有应用背景；二是可借助于线性平稳自回归滑动平均模型的统计理论与方法, 研究非平稳序列模型。对此模型不仅有很多研究和应用，而且有很多推广，比如
(dyt=xt , t=1,2,... (3.11)
这叫d阶求和模型。又如
(d(yt-yt-12)=xt , t=1,2,... (3.12)
这叫季节性（此处周期为12）的d阶求和模型。回顾第二章3.(4)中的随机游动{xt}, 可知它也是一种求和序列。
(5). 周期相关序列
容易看出，满足上述季节性d阶求和模型的序列，不是平稳序列，更甚者，它们的方差列是发散的，即Var(xt)随t 增大而无限增大。这一特征在某些领域中是可以被进似地使用，比如，金融经济等领域。但是，在某些领域中，被考查的数据序列确实有周期性，所以它们的方差列是周期变化的，但是并不发散。若将季节性d阶求和模型用于这类数据序列建模分析，从原理上是通不过的。这类数据序列在水文气象领域最多见。为了适应这类数据序列的分析，文献中出现了周期相关序列的模型。如见，安和吴（1993）。现在简单此模型如下。
请回顾一下宽平稳序列的定义，现在我们将它改成如下形式：
Ext=mt=mt+T, ((t,s)=E(xt-mt)(xs-ms)=((t+T,s+T),
其中t,s仍为认意整数，T为某个指定的正整数，实为周期长度。显然，此时{xt}
不再是平稳序列，我们称它为周期相关序列。
在实际应用中，T常取为12（对月数据而言），7（对周数据而言），等等。
若以yit=xiT+t, i=1,2,…,T, 表示{xt}的第i相位的序列，并引入多元序列
yt=(y1t,y2t,…,yTt)(
按照宽平稳序列的定义易知，{yt}的每个分量序列{yit}都是平稳序列，于是我们把研究不平稳的周期相关序列序列{xt}，转化为研究多元平稳序列{yt}. 关于多元序列的模型将在第六章介绍。
我们在这里如此简单地提到周期相关序列，目的有二：其一，希望读者对每个模型的本质特征要牢记；其二，要合理地选用，甚至发现有针对性的时序模型。
以上关于线性序列和线性序列参数模型的详细讨论，可参看已有的箸作，如安鸿志等（第二章，1983），Brockwell and Davis(1987)(也有中译版)。
2. 非线性序列的模型
(1). 非线性可加噪声自回归（NAR）模型
指
xt=((xt-1,xt-2,…,xt-p)+et, t=1,2,… (3.13)
其中((…)为p元可测函数, {et}为i.i.d.序列, 且Eet=0. 这里不再考虑鞅差序列的情况, 其原因以后会提到。这里和后面还总假定et与{ xt-1,xt-2,…}独立。关于模型(3.13)有平稳解的条件问题, 也放在最后一章里讨论。无论有无平稳解, 由(3.13)式总可得到
E{xt( xt-1,xt-2,…}
= E{xt( xt-1,xt-2,…,xt-p}
=E{((xt-1,xt-2,…,xt-p)+et( xt-1,xt-2,…,xt-p }
=((xt-1,xt-2,…,xt-p)+E{ et( xt-1,xt-2,…,xt-p }
=((xt-1,xt-2,…,xt-p). (3.14)
(此处依et与{ xt-1,xt-2,…}独立和Eet=0)
而且,
Var{xt( xt-1,xt-2,…}
= E{[xt-((xt-1,xt-2,…,xt-p)]2( xt-1,xt-2,…}
= E{et2( xt-1,xt-2,…}
= Eet2=(2. (by Eet2=(2) (3.15)
最后请自行思考
E{xt+k( xt-1,xt-2,…}=? k(1 (3.16)
Var{xt+k( xt-1,xt-2,…}=? k(1 (3.17)
(2). 条件异方差NAR模型
指
xt=((xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p)et, t=1,2,… (3.18)
其中((…)和s(…)为p元可测函数, {et}为i.i.d.序列且E et=0, E et=1. 在此也先考察类似的(3.14)(3.15)式, 即
E{xt( xt-1,xt-2,…}
= E{xt( xt-1,xt-2,…,xt-p}
=E{((xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p )et( xt-1,xt-2,…,xt-p }
=((xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p )E{et( xt-1,xt-2,…,xt-p }
=((xt-1,xt-2,…,xt-p). (3.19)
Var{xt( xt-1,xt-2,…}
= E{[xt-((xt-1,xt-2,…,xt-p)]2( xt-1,xt-2,…}
= s2(xt-1,xt-2,…,xt-p )E{et2( xt-1,xt-2,…}
= s2(xt-1,xt-2,…,xt-p )Eet2
= s2(xt-1,xt-2,…,xt-p ). (不再是常数!) (3.20)
此时类似的(3.16)(3.17)式仍是难题, 一般无显式解。 在线性ARMA模型时, 这些量并不难获得。
(3). 非可加噪声NAR模型
一般说来, 非可加噪声NAR模型太广泛了, 以至无法研究,甚至于没有研究价值。 比如
xt=((xt-1,xt-2,…,xt-p; et), t=1,2,… (3.21)
又如
(( xt,xt-1,…,xt-p+1; et)=0, t=1,2,…
它们不仅难于被研究, 也难于被统计。除非是对某些特殊的情况，如双线性模型。这里不再介绍了。
以上讨论非线性模型时, 并未强调具体的参数形式, 其主要原因是, 上述诸公式对参数与非参数模型并无区别。在文献中出现的非线性参数自回归模型已有很多种, 可参见安鸿志和陈敏的书(第3章,1998)。
3. 组合模型
(1). 双重线性模型
比如
xt=(txt-1+et , (3.22)
(t=((t-1+(t, (3.23)
其中{et}和{(t}为相互独立的i.i.d.序列。 此时模型(3.22)可称为时变系数的1阶AR模型, 其系数又满足另一个1阶AR模型。 当然, 后一模型是变化相对缓慢的, 即(小于1, 但接近1。
(2). 开关模型
比如
xt=v(xt-1)+et, 当(t=0时, (3.24)
xt=u(xt-1)+et , 当(t=1时, (3.25)
其中u(.)和v(.)为一元可测函数,{(k; k=1,2,…}为只取0和1的i.i.d.序列。此类模型比较新颖，有实际意义，还有很多可变形式。
(3). 门限模型（另一类开关模型）
汤家豪(Tong, H, 1978, 1990)首先提出门限自回归模型, 其中典型示例如下:
xt=
(3.26)
其中{(1t} 和 {(2t}为相互独立的 i.i.d. 序列, 而且 E(1t=E(2t=0,E(1t2=(12, E(2t=(22. 由(3.26)式知, 它也是一种开关模型, 不过它是用{xt-1>0}成立与否作为开关的, 所以被称为门限自回归模型(Threshold AR,or TAR)。若使用示性函数记号I(…), (3.26)式可写为
xt=((xt-1+(1t)I(xt-1(0)+((xt-1+(2t) I(xt-1>0)
=(xt-1I(xt-1(0)+(xt-1I(xt-1>0)+(1tI(xt-1(0)+(2tI(xt-1>0)
=((xt-1) +(1tI(xt-1(0)+(2tI(xt-1>0)
=((xt-1) +S(xt-1,(1t,(2t). (3.27)
其中函数((xt-1)和S(xt-1,(1t,(2t)的定义不言而喻。类似地, (3.24)和(3.25)式也可写为
xt={v(xt-1)+et}I((t(0)+{u(xt-1)+et}I((t>0)
=v(xt-1)I((t(0)+u(xt-1)I((t>0)+etI((t(0)+etI((t>0)
=((xt-1, (t)+ et, (3.28)
其中函数( (xt-1,(t)的定义不言而喻。
4. 多噪声驱动的模型
纵观以上几个组合模型, 它们有一个共同的特征, 这就是在这些模型中都涉及了两个相互独立的i.i.d.序列。请注意, 它们与前述的新息序列(见(2.2)式)有关, 但是关系比较复杂。仅以(3.27)式为例，易见
E{xt( xt-1,xt-2,…}
=E{((xt-1)+(1tI(xt-1(0)+(2tI(xt-1>0)(xt-1,xt-2,…,xt-p}
=((xt-1)+E{(1t}I(xt-1(0)+E{(1t}I(xt-1>0)
= ((xt-1)， (3.29)
以及
Var{xt( xt-1,xt-2,…}
= E{[xt-((xt-1)]2( xt-1,xt-2,…}
= E{[(1tI(xt-1(0)+(2tI(xt-1>0)]2( xt-1,xt-2,…}
= E{(1t}2I(xt-1(0)+E{(2t}2I(xt-1>0)]
=(12 I(xt-1(0)+ (22I(xt-1>0)
(s2(xt-1). (3.30)
其中s2(xt-1)含义不言自明。按(2.2)式可得知，模型(3.27)的新息et 应为
et=(1tI(xt-1(0)+(2tI(xt-1>0). (3.31)
回忆(3.18)式，并考查如下简单（即p=1）模型：
xt=((xt-1)+ s(xt-1)(t, (3.32)
其中{(t}为i.i.d. 序列, 而且E(t=0, E(t2=1。易验证，(3.32)式中的{xt}也具有(3.29)式的条件期望，及(3.30)式的条件方差。但是，模型(3.27)和(3.32)不是一回事，它们可能有不同的概率结构，除非在模型(3.27)式中(1t=(2t. 还有一点明显的区别，即(3.27)式包含了某些类型的开关模型，比如，当(2t只取-1和1两个值时, 且概率相等；将(2t视为(3.28)式中的(t，将(1t视为(3.28)式中的et, 于是(3.27)式可写为
xt=((xt-1+(1t)I(xt-1(0)+((xt-1+(2t) I(xt-1>0)
=(xt-1I(xt-1(0)+((xt-1-1)I(xt-1>0)+(1tI(xt-1(0)
(v(xt-1) +(1tI(xt-1(0), 当(2t= -1,
xt=((xt-1+(1t )I(xt-1(0)+ ((xt-1+(2t) I(xt-1>0)
=(xt-1I(xt-1(0)+((xt-1+1)I(xt-1>0)+ (1tI(xt-1(0)
(u(xt-1) + (1tI(xt-1(0), 当(2t= +1.
这不正是(3.24) (3.25)式的开关模型吗？ 唯一的不同是：以上开关模型的噪声序列为 (1tI(xt-1(0), 它是属于(3.18)式的条件异方差型。
在工程技术领域里, 如(3.1)式和(3.13)式的模型, 都被称为动态系统, 而且称为由噪声{et}序列驱动的动态系统。特别称(3.1)为线性自反馈动态系统, 称(3.13)式为非线性自反馈动态系统。那么, 形如(3.27)和(3.28)的模型, 称为何种自反馈动态系统呢? 较自然的选择是, 称它们为由多噪声驱动的自反馈动态系统。简称多噪声驱动的模型。 在这里自然要考虑如何推广此类模型的问题。 于是我们至少有两方面可考虑: 其一, 推广驱动噪声的个数(>2); 其二, 推广噪声取可能值的个数(>2)。比如在(3.28)式中, 含有只取两个可能值的噪声序列。我们当然关心它可否取更多的可能值。不难想象, 只要取有限个值 (甚至于可列无穷多个), 都无本质困难。同样, 推广驱动噪声的个数也无本质困难。但是, 欲进一步推广会遇到某些难点。这恰是有待研究的问题。
5．ARCH与GARCH模型
以上讨论的模型都是带有条件期望的，即不限定((xt-1,xt-2,…)=0。在金融界的时间序列统计分析中，对((xt-1,xt-2,…)=0的模型独有兴趣,专门考查如下的模型：
yt=s(yt-1,yt-2,…)(t, t=1,2,… (3.33)
其中{(t}为i.i.d.序列, 而且 (t~N(0, 1), 此间要求E(t2=1，是为了保证模型(3.33)式的唯一确定性，并非本质性约束。(t服从正态分布是本质性约束，这是为了统计分析方便。实际上(3.33)式中的{ yt}是鞅差序列! 它的条件方差为
Var(yt(yt-1, yt-2, …) =s2 (yt-1, yt-2, …). (3.34)
如果把鞅差序列的条件方差大小, 看成某种风险大小的话, 那么,以上(3.34)式表明:
这是一步后的风险量的预报值 !
一般它不是随时间不变的常值 !
称此随时起伏性为条件异方差 !
确切地说, (3.33)式是无穷元的非参数模型。 虽然它有很广泛的代表性, 但是, 缺少被研究的价值, 也难于实际应用。有限参数型的模型才便于应用。 最早被提出的有限参数型的模型有以下两种:
(1). ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型:
yt=s(yt-1, yt-2, … )(t ( ht1/2 (t, (3.35)
其中{(t}为i.i.d.序列, (t ~N(0,1)分布, 且(t与{ yt-1, yt-2, …}独立, 且
s2(yt-1, yt-2, … )(ht=(0+(1yt-12+(2yt-22+…+(pyt-p2, (3.36)
且 (0>0, (i(0, i=1,2,…,p.
此模型被Engle(1982)首创。在过去二十年中, 它被广泛地应用于金融统计中, 并产生了重大影响。由此原因Engle和Granger荣获了2003年的诺贝尔经济学奖。关于Granger的获奖成果, 将在后文中介绍。
(2). GARCH(Generalized ARCH) 模型:
yt=s(yt-1, yt-2, … )(t =ht1/2(t, (3.37)
其中{(t}为i.i.d.序列, (t ~N(0,1)分布, 且(t与{ yt-1, yt-2, …}独立, 且
ht=(0+(1yt-12+…+(pyt-p2+(1ht-1+…+(qht-q, (3.38)
且 (0>0, (i(0, i=1,2,…,p; (i(0, i=1,2,…,q.
此模型被Bollerslev(1986)提出。显然, 它是ARCH模型的推广, 因此被简记为GARCH模型。此模型不仅是ARCH模型的推广, 后来还被
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
, 金融界著名的Black-Scholes方程的离散样本序列就符合GARCH模型。另外, 由(3.38)式可求解出
ht =s2(yt-1, yt-2, … )，
它呈现为yt-1, yt-2, … 的无穷元函数, 但是它被有限个参数所确定。当然, 在实际应用中, 人们并不去求出s(yt-1, yt-2, … )的具体形式, 只不过要估计那些未知参数而已。毫无疑问, 它也被广泛地应用于金融统计中。这里顺便指出, 在ARCH 和GARCH模型中, 多被用于yt=ln(Pt/Pt-1)-c, 这里Pt表示某种股票在t时刻的价格, c为适当的常数, 使得{yt}呈现为鞅差序列。
(3). ARCH, GARCH模型的其它推广
由于ARCH和GARCH模型有广泛的应用背景, 所以吸引了不少的研究者, 研究它们的理论与统计方法。 为了进一步满足实际应用的需要, 还提出了不少的推广模型。比如将(3.36)(3.38)式中的ht用某些非线性函数代替。 这里值得一提的是(-ARCH模型,它将(3.36)式中的ht 用下式代替, 即
ht=(0+(1yt-12(+(2yt-22(+…+(pyt-p2(, (3.39)
且 (0>0, (i(0, i=1,2,…,p, 0< ((1.
特别当0< (<1时, 除了以上条外, 无须其它条件, (-ARCH模型总有平稳解。当(=1时, (3.39)与(3.36)式重合, 此时(-ARCH模型就是ARCH模型, 它有平稳解(且有二阶矩)的条件是
((1+(2+…+(p)<1.
读者可以想得到, 此条件是很强的。 因为，要使每个(i(0, 当p较大时, 这些 (i 的值势必很小, 甚至于小到可忽略的地步。换言之, ARCH模型的阶数p不能太大。 此限制对GARCH模型更强。这一弱点有时不能忽视。在此顺便指出，若只要求ARCH或GARCH模型有平稳解，而对xt的矩不做任何要求时，对模型参数的限制可以放宽些，但是不太多，况且当xt的方差都不存在时，难于用数量描述金融中的风险。在文献中这些细致的差异确有少量文章研究，如见，Bougerol and Picard(1992), Nilson(1988), 但是很少被关注。
以上关于ARCH和GARCH模型的详细讨论还可参见安和陈的书（第3,4章，1998）
第四章. 预报分析
1. 两种预报方法
(1). 定义
对序列{xt}的一步预报, 是指根据历史纪录{ xt,xt-1,…}对xt+1的估计。常用记号
t+1表示。
(2). 方法
上述预报
t+1的具体值，被估计的形式和准则所决定。而形式和准则有多种多样，这里只介绍两种：
线性最小二乘预报:
指用线性形示，及无偏最小方差为准则，给出
t+1的值。在平稳且方差有穷的情况下，即求解
inf E{xt+1-( b1xt+ b 2xt-1+...)}2, (4.1)
其中inf是对所有b is 求极小, 由于Ext2有穷，所以(4.1)式有解。不妨仍用b is表示此解，于是
t+1= b 1xt+ b 2xt-1+..., (4.2)
请注意，以上的推理是在{xt}的概率结构已知的情况下完成的。还需指明, (4.2)式只是一种直观的写法。 严格地说, 当{xt}的概率结构已知, 而且Ext=0, Ext2有穷时, 则(4.2)式应写成
t+1=P{xt+1(Ht}, (4.3)
这里P{xt+1(Ht}表示求xt+1在Ht上的投映变元, 其中的Ht是由{xt,xt-1,…}生成的Hilbert空间。在此概论中，重点为了介绍时间序列, 所以，只介绍(4.1)(4.2)式即可。
条件期望预报:
指用条件期望给出
t+1的值。这里好像未考虑准则问题， 其实此预报误差的方差，在所有可测函数预报中，都是误差方差最小的。理由如下：由(2.1)和(2.4)式知
t+1= E{xt+1(xt,xt-1,…}
= E{xt+1(Ftx }
(((xt,xt-1 ,…), (4.4)
对任意可测函数(( xt,xt-1,…), 必有
E{xt+1-(( xt,xt-1,…)}2
= E{xt+1-((xt,xt-1,…)+ ((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)}2
=EE{[xt+1-((xt,xt-1,…)+ ((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)]2( Ftx }
= E{xt+1-((xt,xt-1,…)}2+ E{((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)}2
( E{xt+1-((xt,xt-1,…)}2 .
在这里注意使用
E{[xt+1-((xt,xt-1,…)][((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)]( Ftx }
= [((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)] E{[xt+1-((xt,xt-1,…)( Ftx]
=[((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)]{E[xt+1( Ftx] -((xt,xt-1,…)}
=[((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)]{ ((xt,xt-1,…)-((xt,xt-1,…)}
=0.
这就证明了上面的结论。
以上只展示了在概率结构已知时的预报公式。在不知概率结构时, 欲给出预报就是统计分析问题了。 在非线性时间序列分析中, 这远没有线性时那么简便。 近年来, 范建青所首创的局部多项式方法, 成功地开拓了非参数建模的理论与方法。 他与姚启伟将此方法写进了非线性时间序列分析专著。(见Fan and Yao, 2003)
(3). 性质和误差方差
一般说来，对同一平稳序列，它的两种预报也不一定相同。除非它是正态序列，或者是线性平稳序列，这点不难验证。对于多步预报，如前所述，线性与非线性平稳序列有较大差异。
所谓多步预报，以条件期望预报为例，它可表为如下形式：
=E{xt+k(xt,xt-1,…} ((k(xt,xt-1,…), (4.5)
其中k>0表示预报步数。由于平稳性，(4.5)中的(k(xt,xt-1,…) 的函数形式与k有关, 与t无关，但是取值与xt,xt-1,…有关。对于线性平稳ARMA序列而言，(4.5)中的(k(xt,xt-1,…) 不仅简单，而且对于k=1,2,...还有迭代关系。这些内容具有很好的实用价值。推理不难，但无深层理论内涵。现在，仅以(3.1)式中平稳AR(p=1)序列为例, 并且{et}为i.i.d.的, 且E et=0, Eet2=(2, 则有下列结果:
E{xt+k(xt,xt-1,…} (用xt+k= a1xt+k-1+et+k)
= E{a1xt+k-1+et+k(xt,xt-1,…}
=a1 E{xt+k-1(xt,xt-1,…}=…
=(a1)kxt, k=1,2,… (4.6)
其多步预报的误差的条件方差为
Var{xt+k(xt,xt-1,…}
=E{ [xt+k-(a1)kxt]2( Ftx } (反复用xt+j= a1xt+j-1+et+j)
=E{(et+k+a1et+k-1+…+a1k-1et+1)2(Ftx}
=E(et+k+a1et+k-1+…+a1k-1et+1)2
=E(et+k)2+E(a1et+k-1)2+…+E(a1k-1et+1)2
={1+(a1)2+(a1)4+…+(a1)2k-2}(2, k=1,2,… (4.7)
以上结果不难推广到平稳ARMA序列的情况, 这可在很多文献中找到。(如见安等人的书，第七章,1983)
对于非线性平稳序列而言，与线性平稳序列有较大差异，一般不便于泛泛讨论。除前边的(3.15)-(3.20)式之外，这里没有更多的结果可言。但须记住，此时预报误差的条件方差不一定是常数！这给人们一条重要的启示, 这在前一章中的ARCH和 GARCH模型中已经看到。 此一启示, 在后文中还会提到。
2. 两种不同的线性概念
(1). 预报线性性
如果平稳序列{xt}能使(4.4)式右边的((xt,xt-1,…)为xt,xt-1,…的线性函数（包含可能的极限），称它为具有预报线性性，或者说它是（预报）线性序列。
(2). 结构线性性
如果平稳序列具有(2.6)式的形式：
xt=(j=(((ajet-j, 这里 (j=(((aj2<(, (4.8)
而且其中{et}为i.i.d.序列，称{xt}为具有结构线性性质，或者说它是结构线性序列。请回忆在(2.6)式那里还有后半句话: “线性定义是不唯一的! 此是后话。” 此时可以理解它了，因为它涉及到两种不同的线性概念！
(3). 两种线性性的差异
容易看出，具有结构线性性也必有预报线性性！反之，不一定总成立。例子很多，比如在(3.18)式中取
((xt-1,xt-2,…,xt-p)=0, s(xt-1,xt-2,…,xt-p )= xt-1/(1+ xt-12)，
则有
xt= {xt-1/(1+ xt-12)}et， t=1,2,…
其中{et}为i.i.d. 正态N(0,1)序列。虽然论证上式有平稳解是困难的，我们在后面会提到。但是，人们凭直感会相信它不是结构线性的，而依上边假定
E{xt( xt-1,xt-2,…}
=((xt-1,xt-2,…,xt-p)+ {xt-1/(1+ xt-12)} E{et(xt-1,xt-2,…}
=0+{xt-1/(1+ xt-12)}Eet
=0+0=0，
可见它具有预报线性性！
此外, 结构线性与结构非线性序列还有一条明显差异, 这体现在多步预报的表达式中。回顾(4.6)(4.7)式可知, 其任何步预报都不涉及et的具体分布。对一般结构线性序列的多步预报也不涉及et 的具体分布。对于结构非线性序列而言, 这就不一定了! 一般说来是要涉及et 的具体分布。除非对某些特殊情况例外。比如, 模型(3.13)和(3.18)式的一步预报就不涉及et 的具体分布。但是，对于多步预报就要涉及et的具体分布了。细节就暗藏在思考问题(3.16)和(3.17)式中了。读者只要考查k=2的情况, 便立刻可知此事。
以下几个问题供思考
除上述内容，可能还有些被关心的问题。这里不再多述了。现在提
出几个问题供有兴趣者思考。
(1). 若平稳列{ xt }满足
E{xt(xt-1,xt-2,…}= E{xt(xt-1,xt-2,…,xt-p}, (4.9)
可以说
Var{ xt(xt-1,xt-2,…}=Var{ xt(xt-1,xt-2,…,xt-p } (4.10)
成立吗?
若肯定, 请证明; 若否定, 请給一反例。
(2). 又问
E{ xt+k - E[xt+k(xt-1,xt-2,…]}2, k(0 (4.11)
是随k(0单调升的吗？或者问, 是单调非降的吗？若肯定, 请证明; 若否定, 请給一反例。
(3). 再问
Var{xt+k(xt-1,xt-2,…}, k(0 (4.12)
是随k(0单调升的吗？或者问, 是单调非降的吗？须注意, 以上是函数序列,不同于(4.11)式的数值序列。若肯定, 请证明; 若否定, 请給一反例。
3．新息序列与驱动噪声
考查序列{ xt}, 在只假定它是严平稳的，且E xt2<( 时，总有以下事实：
E{xt(xt-1, xt-2, …}((( xt-1, xt-2, …), (4.13)
Var{xt(xt-1, xt-2, …}= E{[xt-(( xt-1, xt-2, …)]2(xt-1, xt-2, …}
(s2( xt-1, xt-2, …). (4.14)
这里须指出，从理论上说，(( xt-1, xt-2, …)与s2( xt-1, xt-2, …)一样，都是( xt-1, xt-2, …)的可测函数，对它们的任何额外的假定都
浙公网安备 33021202002483