2011数学微积分基础第14讲 三重积分，曲线积分1

2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 1 第 14 讲 三重积分，第一类曲线积分 三重积分：概念、性质、计算及应用 14.1 三重积分的概念及性质 三重积分的定义: 设 ),,( zyxf 定义在有界闭区域 3R⊂Ω 上. 若: (1) 任意分割区域Ω , 记 , i i X Y Max X Yλ ∈ΔΩ = − , ini λλ ≤≤= 1max ; (2) 任取 ,,,1,),,( niiiii "=ΔΩ∈ςηξ 作和式 ∑ = Δ= n i iiiin VfS 1 ),,( ςηξ , 其中 iVΔ 为 iΔΩ 的体积; (3) 若极限 ∑ =+∞→+∞→ Δ= n i iiiinnn fS 1 ),,(limlim σςηξ 存在, 则称函数 ),,( zyxf 在区域Ω上可积, 该极限值称为 函数 ),,( zyxf 在区间Ω上的三重积分, 记作 ∑∫∫∫ =+∞→Ω Δ= n i iiiin VfdVzyxf 1 ),,(lim),,( ςηξ . Ω称为积分区域, ),,( zyxf 称为被积函数, zyx ,, 称为积分变 量, 体积元素 dV 又记作dxdydz . 三重积分的值与积分变量的符号无关: ∫∫∫∫∫∫ ΩΩ = dudvdwwvufdxdydzzyxf ),,(),,( 三重积分的性质: (1) 可积的必要条件和充分条件 连续函数一定在有界区域内可积 (2) 线性性，保序性，估值性，中值定理，对积分区域的可加性 z 对积分区域的可加性: 设 ),,( zyxf 在区域 1Ω 和 2Ω 上可积, 21 ΩΩ ∪ 无内点, 则 ),( yxf 在 21 ΩΩ ∪ 上可积,且 =∫∫∫ Ω∪Ω 21 ),,( dxdydzzyxf +∫∫∫ Ω1 ),,( dxdydzzyxf ∫∫∫ Ω2 ),,( dxdydzzyxf 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 2 z 对被积函数满足线性性: z 保序性: 若可积函数 Ω∈∀≥ ),,(),,,(),,( zyxzyxgzyxf ,则 ≥∫∫∫ Ω dxdydzzyxf ),,( ∫∫∫ Ω dxdydzzyxg ),,( 。 若可积函数 Ω∈∀≥ ),,(,0),,( zyxzyxf , 则. 0),,( ≥∫∫∫ Ω dxdydzzyxf 。 z 若 ),,( zyxf 在Ω上可积, 则 ),,( zyxf 在Ω上也可积, 且 ≤∫∫∫ Ω dxdydzzyxf ),,( ∫∫∫ Ω dxdydzzyxf ),,( 。 z 估值定理: 若可积函数 ),,( zyxf 在Ω上满足 Mzyxfm ≤≤ ),,( , 则 ( , , )mV f x y z dxdydz MVΩ Ω Ω ≤ ≤∫∫∫ 其中 ΩV 为Ω区域的体积. z 中值定理: 若函数 ),,( zyxf 在Ω上连续, ),,( zyxg 在Ω上取 定号且可积, 则 Ω∈∃ ),,( ςηξ ,使 ∫∫∫∫∫∫ ΩΩ = dxdydzzyxgfdxdydzzyxgzyxf ),,(),,(),,(),,( ςηξ 特别地, 1),,( ≡zyxg 时, Ω∈∃ ),,( ςηξ 使 Ω ΩΩ == ∫∫∫∫∫∫ Vfdzdxdyfdxdydzzyxf ),,(),,(),,( ςηξςηξ 其中 dzdxdyV ∫∫∫ Ω Ω = 为Ω区域的体积. z 若Ω区域关于 yx − 平面对称, 可积函数 ),,( zyxf 满足 ),,(),,( zyxfzyxf −=− , 则 0),,( =∫∫∫ Ω dxdydzzyxf 若Ω区域关于 yx − 平面对称, 可积函数 ),,( zyxf 满足 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 3 ),,(),,( zyxfzyxf =− , 则 ∫∫∫∫∫∫ ΩΩ = 1 ),,(2),,( dxdydzzyxfdxdydzzyxf 其中 1Ω 为Ω的上半区域。 14.2 三重积分的计算——化成累次积分 (1) 在直角坐标系下的计算 ( )∫∫∫ Ω = dvzyxfI ,, z 直角坐标系下的体积元素： dzdydxdv = , ( )∫∫∫ Ω = dxdydzzyxfI ,, z 不同积分次序的选择下的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ： z ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫= yxz yxzyxD dzzyxfdxdyI , ,, 2 1 ,, z ( ) ( )∫ ∫∫= b a zD dxdyzyxfdzI ,, 若三重积分的积分区 { }xyDyxyxzzyxzzyx ∈≤≤=Ω ),(),,(),(|),,( 21 , 其中 { }bxaxyxxyyxDxy ≤≤≤≤= ),()(|),( 21 则三重积分 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z x y D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω =∫∫∫ ∫∫ ∫ 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz= ∫ ∫ ∫ 若三重积分的积分区域 { }zDyxdzczyx ∈≤≤=Ω ),(,|),,( , 则三重积分 ( ) ( , , ) ( , , ) xy d c D z f x y z dxdydz dz f x y z dxdy Ω =∫∫∫ ∫ ∫∫ dx dy dz dv dxdydz= ( )D z D(x,y) y z x 2 ( , )z x y 1( , )z x y • • • xyD 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 4 例 14.1 求 ,)(∫∫∫ Ω + dxdydzyx { }( , , ) | 1, 0, 0, 0x y z x y z x y zΩ = + + ≤ ≥ ≥ ≥ 【解】 解法一 { }10,10,10|),,( ≤≤−≤≤−−≤≤=Ω xxyyxzzyx 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ) x x y x y dxdydz dx dy x y dz − − − Ω + = +∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 0 0 ( )(1 ) x dx x y x y dy −= + − −∫ ∫ 1 1 2 3 0 0 1 1( ) ( ) 2 3 x dx x y x y −⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 2 31 0 1 1 6 2 3 12 x x dx ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 解法二: { }( , , ) | 0 1, ( , ) zx y z z x y DΩ = ≤ ≤ ∈ , { }( , ) 0, 0, 1zD x y x y x y z= ≥ ≥ + ≤ − 1 0 ( ) ( ) zD x y dxdydz dz x y dxdy Ω + = +∫∫∫ ∫ ∫∫ 1 1 1 0 0 0 ( ) z x z dz dx x y dy − − −= +∫ ∫ ∫ 1 1 2 0 0 1 1(1 ) (1 ) 2 12 z dz x x z x z dx − ⎡ ⎤= − − + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ . 例 14.2 设Ω是由平面 1 : 2( 1) 2( 1) ( 3) 0S x y z− − + − − = , 与 222 : yxzS += , 所围的区域， 求V x d v Ω = ∫∫∫ 。 解：图形所围之域： ⎩⎨ ⎧ += =−−+−−Ω 22 2 11 : 0)3()1(2)1(2: : yxzS zyxS ⎩⎨ ⎧ += −−=Ω⇔ 22 2 11 : 122: : yxzS yxzS z y 0 x 122 −−= yxz 2 2z x y= + 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 5 11S 与 2S 的交线： ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =++− −−= 111 122 22 yx yxz V xd v Ω = ∫∫∫ = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x yx y x dx dy dz − − +− + + ≤ ∫∫ ∫ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x y x x y x y dx dy − + + ≤ − − − −∫∫ = ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 x y x y x dx dy − + + ≤ − − − + − +∫∫ ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 u v u v u du dv + ≤ = − − +∫∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 u v u v u u v du dv u v du dv + ≤ + ≤ = − − + − −∫∫ ∫∫ = 2π . (2) 在柱坐标系下的计算 若三重积分积分区域Ω在柱坐标系下的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( , , ) : , , z z z z α ϕ β ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ⎧ ⎫⎧ ≤ ≤⎪ ⎪⎪⎪ ⎪Ω = ≤ ≤⎨ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪≤ ≤⎪ ⎪⎩⎩ ⎭ , 体积元素: d v d d dzρ ρ ϕ= 则三重积分 ( , , )f x y z dxdydz Ω ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 , , ( cos , sin , ) z z d d f z dz α ρ ϕ ρ ϕ α ρ ϕ ρ ϕϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ= ∫ ∫ ∫ 例 14.3 求 ∫∫∫ Ω ++ zdxdydzyx )1( 22 , 其中 ( ){ }Hzyxzyx ≤≤+=Ω 22|,, . 【解】 用柱坐标系, { }HzHz ≤≤≤≤≤≤=Ω ρρπϕϕρ ,0,20|),,( 22 2 2 0 0 (1 ) (1 ) H H x y zdxdydz d d z dz π ρϕ ρ ρ ρΩ + + +∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 6 4 6 4 12 H Hπ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 例 14.4 设 )(tf 在 ),0[ +∞ 上连 续, [ ]∫∫∫ ++= dxdydzyxfztF )()( 222 ,其中 { } )0(,0|),,( 222 >≤+≤≤=Ω ttyxhzzyx .求 20 )( lim t tF t +→ . 【解】 用柱坐标系, 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) t h F t d d z f dz π ϕ ρ ρ ρ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 3 2 2 0 2 ( ) 3 th t h f dπ π ρ ρ ρ= + ∫ ， 用 L’Hospital 法则, 2 3 0 2 20 0 ( )( )lim 2 lim 3 t t t f dF t h h t t ρ ρ ρπ π+ +→ →= + ∫ 3 (0) 3 h hfπ π= + . (3) 在球坐标系下的计算 球坐标系为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = θ ϕθ ϕθ cos sinsin cossin rz ry rx 其中 πθ πϕ ≤≤ ≤≤ ≥ 0 20 0r 体积元素: 2 sind v r dr d dθ ϕ θ= 若三重积分的积分区域Ω在球坐标系下的 表示为 *Ω , 则三重积分 ( , , )f x y z dxdydz Ω ∫∫∫ sinr θ sinr dθ ϕ r dθ d r 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 7 * 2( sin cos , sin sin , cos ) sinf r r r r drd dθ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ Ω = ∫∫∫ 例 14.35 求三重积分: ( )dvzyxI ∫∫∫ Ω ++= ,其中 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +≤ −−≤≤=Ω 22 2210 ,, yxz zyz zyx 【解】由函数与域的对称性； ( )dvzyxI ∫∫∫ Ω ++= = dvz∫∫∫ Ω 解 1: ∫∫∫ Ω = dvzI = ( )∫∫∫ 1 0 2 4 0 2 0 sincos drrrdd θθθϕ ππ = ∫∫∫ 1 0 3 4 0 2 0 cossin drrdd ππ θθθϕ = 4 1 4 sin 2 12 2 ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ππ = 8 π 解 2: ∫∫∫ Ω = dvzI ∫∫∫ −− +≤+ = 22 2222 1 2/1 yx yxyx dzzdydx ( )∫∫ ≤+ −−= 2/1 22 22 221 2 1 yx dydxyx ∫∫ ≤+ −= 2/1 2 22 2 2 1 yx dydxxπ 解 3: ∫∫∫ Ω = dvzI ∫∫∫ − ≤ = 2 2 1 2/1 ρ ρρ ϕρρ dzzdd ( )∫∫ ≤ −= 2/1 2 2 21 2 1 ρ ϕρρρ dd 解 4: ∫∫∫ Ω = dvzI ∫∫∫ ≤+ = 222 2/1 0 zyx dydxdzz + ∫∫∫ −≤+ 222 1 1 2/1 zyx dydxdzz ( )∫ ⋅= 2/1 0 2 dzzz π + ( )∫ −1 2/1 21 dzzz π . 例 14.6 空间区域Ω为平面 8=z 与由曲线 2 2 : 0 y z L x ⎧ =⎨ =⎩ 绕 z 轴旋转 一周而成的曲面所围成， 求 ( )2 2I x y dv Ω = +∫∫∫ . 0 x y z 2 2z x y= + 2 21z x y= − − 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 8 解：: 2 2 : 0 y z L x ⎧ =⎨ =⎩ 绕 z 轴 旋转而成曲面的方程： 2 2 2x y z+ = 2 2 2 , : 8 x y z z ⎧ + ≤⇒Ω ⎨ ≤⎩ 2 2 , : 8 z z ρ⎧ ≤⇒Ω ⎨ ≤⎩ ( )∫∫∫ Ω += dvyxI 22 ( ) ∫∫∫ ≤ = 8 216 2 22 ρρ ϕρρρ zddd ( )∫∫ ≤ −= 16 23 2 28 ρ ϕρρρ dd 1024 3 π= 14.4 重积分的应用 （1）板状物体 D的质心 ( )yx, : M My M M x xy == , 其中 ( , )y D M x x y dxdyρ= ∫∫ , ( , )x D M y x y dxdyρ= ∫∫ , ( , ) D M x y dxdyρ= ∫∫ D为区域, ),( yxρ 为板状物体的质量点密度. Ω的质量密度为 ),,( zyxρ , 则其质量中心 ( )zyx ,, 为 M M z M My M M x xyzxyz === ,, 其中 ( , , )yzM x x y z dxdydzρ Ω = ∫∫∫ , ( , , )zxM y x y z dxdydzρ Ω = ∫∫∫ , ( , , )xyM z x y z dxdydzρ Ω = ∫∫∫ . 例 14.7 求均匀半球 { }0,|),,( 2222 ≥≤++=Ω zRzyxzyx 的重 心 ( )zyx ,, . 【解】 显然 0,0 == yx . 4 sincos 42 0 2 0 0 2 RdrrrddzdxdydzM R xy πθθθϕπ π =⋅== ∫ ∫ ∫∫∫∫ Ω x z y 0 2 2y z= 8z = 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 9 3 2sin 32 0 2 0 0 2 RdrrdddxdydzM R xy πθθϕπ π === ∫ ∫ ∫∫∫∫ Ω ， Rz 8 3= (2) 万有引力问题 例 14.8 求半径为 R 密度为常数 0ρ 的球体, 所产生的引力场。 解： 2 cosz dvdF r ρ ϕ= ⋅ 2dv z ar r ρ −= ⋅ ( )22 2r x y z a= + + − ( )( )322 2z z adF dvx y z a ρ−= + + − ( ) ( )( )322 2z z aF dvx y z aρΩ −= + + −∫∫∫ = ( ) ( )( )2 2 2 2 322 2 R R x y R z dxdyz a dz x y z a ρ − + ≤ − − + + − ∫ ∫∫ z ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 22 2 20 0 R z x y R z dxdy dd x y z a z a π ρ ρϕ ρ − + ≤ − = + + − + − ∫∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 22 3 22220 0 2 R z R z d z a z az a ρ ρ ρ ππ ρρ = − − = + − −= = + −+ − ∫ ( ) ( )22 2 1 12 z aR z z a π ⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟−⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ dz aazR az az azF R R z ∫ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− −−− −= 22 2 2πρ ( ) ⎩⎨ ⎧ <− ≥−=−=− − ∫∫ −− Raa RaR dzazsigndz az az R R R R ,2 ,2 ( , , )P x y x O x x z R a r 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 10 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥− ≥− = +− −∫ − Raa RaR a R dz aazR azR R , 3 4 ,2 3 2 2 2 2 22 3 22 2 4 1 ,, 3 4 , , 3 R z a V a RR a R aaF Va a R a R a ρρ π ρρ π ⎧⎧ − ≥− ⋅ ≥ ⎪⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪− ≥ − ≥⎪ ⎪⎩ ⎩ . 在球坐标系下： ϕ ϕρϕρ cos2 coscos 222 ⋅−+=⋅= raar dv r dvdFz , ∫∫∫ ⋅−+= R z drrraar ddF 0 2 22 0 2 0 sin cos2 cos ϕϕ ϕρϕθ ππ ∫∫ ⋅−+= R dr raar rd 0 22 2 0 cos2 sincos2 ϕϕϕϕπρ π . 例 14.9 设 ∫∫∫ ≤++ ++= 2222 )()( 222 tzyx dxdydzzyxftF ，其中 )(uf 连续， 且 0)0(,1)0( ==′ ff ．求（１） )(tF ′ ；（２） 50 )(lim t tF t→ ． 【解】（１） 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) x y z t F t f x y z dxdydz + + ≤ = + +∫∫∫ 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) sin 4 ( ) t t d d f r r dr f r r dr π πϕ θ θ π= =∫ ∫ ∫ ∫ )(4)( 22 tfttF π=′ （２） 5 4)0( 5 4)(lim 5 4 5 )(4lim)(lim 2 2 04 22 050 ππππ =′=== →→→ ft tf t tft t tF ttt 例 14.10（03_1）设函数 )(xf 连续且恒大于零， ∫∫ ∫∫∫ + ++ = Ω )( 22 )( 222 )( )( )( tD t dyxf dvzyxf tF σ , 其中 }),,{()( 2222 tzyxzyxt ≤++=Ω ， }.),{()( 222 tyxyxtD ≤+= 讨论 )(tF 在区间 ),0( +∞ 内的单调性. 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 11 证明：（1） 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 ( ) sin ( ) ( ) t t d d f r r dr F t d f d π π π ϕ θ θ ϕ ρ ρ ρ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 4 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) t t t t f r r dr f r r dr f d f d π π ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = ∫ ∫ ∫ ∫ =′ )(tF 0 )( )()()()( 2 2 0 2 0 222 0 222 ≥ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∫ ∫∫ t tt df drrrfttfdfttf ρρρ ρρρ )(tF 在区间 ),0( +∞ 内的单调增。 第一类曲线积分:概念、性质、计算及应用 （1）第一类曲线积分的定义与性质 z 设弧段 ∩ AB (记作 L )是 3R 中的一条逐段光滑的曲线, 函数 ),,( zyxf 定义在 L 上. 把 L 任意地分成 n 个子弧段, ∩ − ii PP 1 , ,,,2,1 ni "= BPAP n == ,0 , 每一段子弧段的弧长分别 为 ilΔ , 在每一段子弧段上分别任取一点 ),,( iiiiQ ςηξ , 作 Riemann 和 ∑ = Δ n i iiii lf 1 ),,( ςηξ .再记 { }nlll ΔΔΔ= ,,,max 21 "λ . 如果当 0→λ 时, 上述Riemann和的极限存在, 且该极限值与子弧段 的分法和点的取法无关, 则称该极限为函数 ),,( zyxf 在曲线 ∩ AB ( L )上的第一类曲线积分, 记作 ∑∫∫ =→ Δ==∩ n i iiiiLAB lfdlzyxfdlzyxf 10 ),,(lim),,(),,( ςηξλ 函数 ),,( zyxf 为被积函数, ∩ AB ( L )为积分路径, dl 为弧微分, 0>dl . 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 12 Riemann 和∑ = Δ n i iiii lf 1 ),,( ςηξ 的极限存在, 且该极限值与子弧 段的分法和点的取法无关的充分条件是 ),,( zyxf 在曲线 ∩ AB ( L )上 连续. z 第一类曲线积分的性质: 1. ∫∫ ∩∩ = BAAB dlzyxfdlzyxf ),,(),,( . 2. 若 21 LLL ∪= , 则 ∫∫∫ += 21 ),,(),,(),,( LLL dlzyxfdlzyxfdlzyxf 3. [ ] ∫∫∫ +=+ LLL dlzyxgdlzyxfdlzyxgzyxf ),,(),,(),,(),,( μλμλ 若 ),,( zyxf 在曲线 ∩ AB ( L )上连续, 则存在 ( ) L∈ςηξ ,, 使 Lfdlzyxf L ),,(),,( ςηξ=∫ ， 其中 L为曲线的弧长. (2) 第一类曲线积分的计算 设曲线 L 的参数方程为 [ ]βα , )( )( )( ∈ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = t tzz tyy txx 又设 ),,( zyxf 在曲线 L 上连续, 则弧长微分 [ ] [ ] [ ] dttztytxdl 222 )()()( ′+′+′= , 第一类曲线积分可按下式计 算： [ ] [ ] [ ]∫∫ ′+′+′= βα dttztytxtztytxfdlzyxfL 222 )()()())(),(),((),,( 特别在 X-Y 平面上，有依赖于弧长微分不同表达的三种计算模式： [ ] [ ] dttytxdl 22 )()( ′+′= ， [ ] dxydl x 21 ′+= ， [ ] [ ] ϕϕρϕρ ddl 22 )()( ′+= 上述第 3 个公式是基于极坐标 )(ϕρρ = . 注意: 第一类曲线积分化成定积分时, 积分下限一定小于积分上限. 例 14.11 求 ∫ L xydl , 其中 L是正方形 ( )0, >=+ aayx . 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 13 【解】设 )0,(),,0(),0,(),,0( aDaCaBaA −− , ( ) 02)(2)( 2)(2)( 00 00 =+−+++ −+−= +++= ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫ −− aa aa DACDBCAB L dxaxxdxaxx dxaxxdxaxx xydlxydl 例 14.12（98）设 L 为椭圆 1 3 1 4 1 22 =+ yx , 其周长为a , 求 ∫ ++L dlyxxy )432( 22 【解】 (解法一) 由 L 的方程, 1243 22 =+ yx , ∫∫∫ +=+=++ LLL xydladlxydlyxxy 212)212()432( 22 由对称性, 02 =∫L xydl , 故 adlyxxyL 12)432( 22 =++∫ . (解法二) [ ]πθθ θ 2,0, sin3 cos2 : ∈⎩⎨ ⎧ = = y x L ∫∫ +=++ LL xydladlyxxy 212)432( 22 [ ] 0cos3sin4sin3cos22 0 22 =+= ∫∫ π θθθθθ dxydlL . 例 14.13 L 为球面 2222 Rzyx =++ 与平面 0=++ zyx 的交线, 求 ∫L dlx 2 . 【解】 由对称性, ∫∫∫ == LLL dlzdlydlx 222 , 故 ( ) 32222 3 2 3 1 Rdlzyxdlx LL π=++= ∫∫ 例 14.14 计算 ∫L xydl , 其中 L是封闭路径OABO . 【解】 ∫∫∫∫ ++= BOABOAL xydlxydlxydlxydl 00 =⋅= ∫∫ OAOA dlxydl ， 211 1 0 =⋅= ∫∫ ydyxydlAB ， 120 1 24 55)2(1 1 0 22 +=+⋅= ∫∫ ∩ dxxxxxydlBO . 例 14.15 求 4 4 3 3( ) L x y d l+∫v , 其中 L 为星型线, 其方程为 2xy = 1 B A O 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 14 3 2 3 2 3 2 ayx =+ 【解】由对称性可知, ∫∫ +=+ 1 )(4)( 3 4 3 4 3 4 3 4 L L dlyxdlyx , 其中 1L 为 L 在第一象限的部分曲线. 星型线的参数方程为 ( )π20sin,cos 33 ≤≤== ttaytax 故 dtttadl sincos3= , 1 4 4 4 4 3 3 3 3( ) 4 ( ) L L x y dl x y dl+ = +∫ ∫v 4 7 4 43 32 0 4 (cos sin )3 (cos sin ) 4a t t a t t dt a π = + =∫ 例 14.15 求圆柱面 222 Ryx =+ 被抛物面 2xcz −= 及 0=z 所截成的一段的侧面积. 【解】 侧面积 ∫ −= L dlxcA )( 2 , 其中 L 为曲线 ⎩⎨ ⎧ =+ −= 222 2 Ryx xcz 在 yx − 平面上的投影. 的参数方程为 π20 sin cos ≤≤⎩⎨ ⎧ = = t tRy tRx . [ ] [ ] Rdtdttytxdl =′+′= 22 )()( . ( ) 32 0 222 2cos)( RRcRdttRcdlxcA L πππ −=−=−= ∫∫ 。 z 第一类曲面积分可以求柱面面积 例 14.16 设圆柱螺旋线 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤≤=== 2 0,sin,cos πttztytx 的密 度分布与 yx, 无关,而与 z 成正比,求着一段圆柱螺旋线的质量 与质量中心. 【解】 设密度分布为 kzzyx =),,(ρ , k 为比例常数. 圆柱螺旋线的 弧长微元为 [ ] [ ] [ ] dtdttztytxdl 2)()()( 222 =′+′+′= 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 15 质量 22 0 8 22),,( πρ π kdtktdlzyxm L === ∫∫ 质量中心坐标 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⋅== ∫∫ 1 2 82cos ),,( 2 2 0 π π ρ π m dtktt m dlzyxx x L ， 2 2 0 82sin ),,( π ρ π =⋅== ∫∫ m dtktt m dlzyxy y L 3 2),,( 2 0 π ρ π =⋅== ∫∫ m dtktt m dlzyxz z L . 例 14.17(89)平面曲线 L 为下半园周 21 xy −−= , 则 ( )∫ += L dlyxI 22 = ( π ). 设曲线 L 的参数方程为 [ ]βα , )( )( )( ∈ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = t tzz tyy txx 又设 ),,( zyxf 在曲线 L 上连续, 则弧长微分 [ ] [ ] [ ] dttztytxdl 222 )()()( ′+′+′= , 第一类曲线积分可按下式计算： [ ] [ ] [ ]∫∫ ′+′+′= βα dttztytxtztytxfdlzyxfL 222 )()()())(),(),((),,( 特别在 X-Y 平面上，有依赖于弧长微分不同表达的三种计算模式： [ ] [ ] dttytxdl 22 )()( ′+′= ， [ ] dxydl x 21 ′+= ， [ ] [ ] ϕϕρϕρ ddl 22 )()( ′+= 注意: 第一类曲线积分化成定积分时, 积分下限一定小于积分上限. 【解】 ( ) π==+= ∫∫ LL dldlyxI 22 例 14.18 求 ⎩⎨ ⎧ = =+= ∫ axy zyxLzdlI L 222 :, ，从 )0,0,0(O 到 )2,,( aaaA ． 2010 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外创业大厦 1006 电话：62701055 谭泽光 16 【解】 axxzaxyxx +=== 2,, ， ax ≤≤0 ． ( ) ( )2 22 0 1 a L I x dl z y z dx′ ′= = + +∫ ∫ 2 201 8 9 22 a x ax a dx= + +∫ 2 2 0 1 9 172 2 2 324 2 a x a dx⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2 25 4 38100 38 72 17 ln 17256 2 a ⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ .