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正弦定理学案新人教A版必修5【学习目标】一．知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明
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；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.二．过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系。三、情感态度与价值观培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。【学习内容】引入：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？新课学习：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则，从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，同理可得，从而从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。三、例题例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．已知ABC中，A，,求分析：可通过设一参数k(k>0)使,证明:解：设则有，，从而==又，所以=2评述：在ABC中，等式恒成立。【课堂小结与反思】（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。【课后作业与练习】1.在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，则B等于( )A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2.．下列判断中正确的是( )A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°时，三角形有一解3.在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC等于( )A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－24.在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝______，5.在中acosA=bcosB,则是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形6．在中下列等式总成立的是（）A.acosC=ccosAB.bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD.asinC=csinA7.在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC是( )A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形8.下列判断中正确的是( )A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°时，三角形有一解9.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)等于( )A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D.eq\r(2)10.在△ABC中，已知2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，试判断△ABC的形状．11.在ΔABC中，已知==；求证：这个三角形为等边三角形。
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