PAGE2020年高中数学第一章统计知识解析相关性素材北师大版必修3相关性-课文
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解析全析提示1.散点图为了了解人的身高与体重的关系，我们随机地抽取9名15岁的男生，测得身高、体重如下表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053从表中不难看出，同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg，体重不是身高的函数.如果把身高看作横坐标、体重看作纵坐标，在坐标系中画出对应的点，就会发现，随着身高的增长，体重基本上是呈直线增加的趋势.图1－7－1在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫做变量之间的散点图.散点图的制作通常有两种方法：一是手工绘图；二是用计算机作图.手工作图比较烦琐，也易出现误差，不够精确，我们通常利用计算机作图，简单而准确.下面，我们再看一个例子：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员得到了一组数据（如下表）：人体的脂肪百分比和年龄年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.4[]30.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系？一般地，对于某个人来说，他的体内脂肪不一定随年龄增长而增加或减少.但是把很多个体放在一起，这时就可能表现出一定的规律性来.观察表中数据，大体上来看，随着年龄的增长，人体中的脂肪百分比也在增加.为了确定这一细节，我们需要对数据进行分析，可以作一个散点图，使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断.图1－7－2从散点图中我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.2.线性相关我们看下面几个散点图.图1－7－3从散点图上看，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致的趋势（如图a、图b），这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.若在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的.此时，我们可以有一条直线来近似表示（如图a）.若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，则称此相关为非线性相关.此时，可以用一条曲线来拟合（如图b）.如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的（如图c）.我们重点来研究相关中的线性相关.下面我们再来看体内脂肪的含量与年龄的关系.那么，当人的年龄增长时，体内脂肪含量到底以什么方式增加呢？我们从脂肪含量与年龄的散点图中可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，这两个量之间具有线性相关性.图1－7－4那么，如何确定这条直线呢？这条直线有什么特点呢？要想确定这条直线，必须先弄清该直线的特点.这条直线代表了所有散点的发展变化趋势，也就是说所有散点到该直线的距离最小，使散点都尽可能地处在该直线的附近.下面我们看几种确定这条直线的方法.（1）我们可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就确定了这条直线.图1－7－5（2）在图中选择这样两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.图1－7－6（3）我们还可以在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为要确定直线的斜率和截距.图1－7－7以上几种方法，确定的直线方法差别很大，结果所确定的直线也有较大的差别.但是这种探索活动是非常有意义的，是寻找最佳方案的必要前提.问题：（课本第54页）（1）制散点图时，我们一般要借助于计算机中的电子表格软件（Excel），以身高作为横坐标，以右手一拃长作为纵坐标，作图.图1－7－8从散点图1－8－8中可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.对第（2）小问题，课本给出四个解决方案，这四个方案从方法上差别较大，得到的数据也有一定的差距，但不能否认这四种方法都有一定的道理，我们想要得到的直线只是对其变化趋势的一个近似的描述，对于一个给定身高的人，我们用这条直线来估计这个人的右手一拃长，是十分有意义的.那么，本节要想确定表示线性相关的直线，我们可以借助于电子表格软件来处理，至于从理论上怎么来处理这一问题，这将是下一节要讨论的内容.为了使取得的样本具有广泛代表性，应采用抽样的方法，如简单随机抽样、分层抽样等抽样方法.思维拓展如果身高和体重存在函数关系，则图象应为平滑的直线或曲线，或为均匀分散在直线或曲线上的点.全析提示可利用计算机中的电子表格软件制作两个变量间的散点图.全析提示要从实践中不断提高分析数据的能力，我们往往借助于列表和作图来分析数据.全析提示在作散点图时，假设年龄影响体内脂肪含量，按习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量.全析提示我们通常利用变量间的散点图来判断变量间的关系.如果所有点看上去都在一条直线附近波动，则变量间是线性相关；若在某条曲线附近波动，则称非线性相关；若没有显示任何关系，则称不相关.全析提示这条直线必须能近似地代表散点的变化发展趋势.21世纪教育网思维拓展此种方法确定直线有不足之处，通过移动直线使距离和最小，只是一种直观的感觉，缺乏严格逻辑.思维拓展此种方法保证直线两侧点数基本相同，但并不能保证所有散点到直线的距离和最小.思维拓展用此种方法来确定直线，由于图中点较多，任意两点确定一条直线，直线条数较多，难操作，并且也很难保证所有点到直线的距离和最小.全析提示用电子表格制散点图时，在第一列应输入x轴所表示的数据（身高），在第二列应输入y轴所表示的数据（右手一拃长）.全析提示这四种方法都带有一定的主观性，缺乏严格的理论根据和逻辑性.
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