二次函数和根与系数的关系

例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|=INCLUDEPICTURE"http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2013/07/26/14/2013072614194650173089.files/image091.gif"\*MERGEFORMATINET=；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|=INCLUDEPICTURE"http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2013/07/26/14/2013072614194650173089.files/image096.gif"\*MERGEFORMATINET=；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|=INCLUDEPICTURE"http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2013/07/26/14/2013072614194650173089.files/image101.gif"\*MERGEFORMATINET=，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。解：∵D(0,-)∴设直线MN的解析式为y=kx-∴∴kx-=x²-4x+3∴x²-(4+k)x+=0+=-=4+k∵+EMBEDEquation.DSMT4=0=k(4+k)∴k=1或-5(舍)∴直线MN的解析式为y=x-1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴交于A、B、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分△PCQ的面积，求k的值。（答案：k=-2）已知：二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴正半轴于点C，且。（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。例2、已知抛物线y=0.25x2﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=0.75x-9向上平移，交抛物线于M、N。MN交y轴正半轴于点T，S△MCT-S△CNT=44，求直线m的解析式。如图，抛物线y=x2，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当S△PEF=12时，求E、F点的坐标。如图，抛物线y=—x2+4x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=—x2+3x+6交y轴于点A，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。解：∵点A、C在抛物线y=-x²+3x+6上∴A(0,6)C(4,2)∴AC:y=-x+6∵抛物线y=-x²+3x+6的顶点G(1.5,8.25)抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]²+8.25联立：∴x²-(4+2n)x+n²+3n=0∴=4+2n∵点M、N关于C点中心对称∴=EMBEDEquation.DSMT4=2∴n=2、如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。解：∵点A、B、C在抛物线y=-x²+2x+3上∴C(0,3)Ａ(-1,0)B(3,0)∵点D、C关于原点对称∴D(０,３)∵四边形CMDA是平行四边形∴CN∥MD且CN=MD设N(m,n)∵MN关于原点对称∴M(-m,-n)∵M、N在抛物线y=-x²+2x+3上∴∴==-(舍)∴n=2∴N(，2)M(-，-2)例3、如图，抛物线y=（x—1）2—13/4的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点，将抛物线向下平移与直线AB相交C、D两点，若BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式.1、抛物线y=—x2/3+x/3,将直线y=0.5x向下平移n个单位长度，与抛物线交于E、F两点，若∠EOF=90°，求n的值2、如图，抛物线y=—x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，P点为BC上的一个动点，过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点，若四边形BMCN的面积为12，求直线MN的解析式。如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。----------------------------分隔线-----------------------------------解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为⑵由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y＝4－x。又P点(x,y)在抛物线上，∴，即解得，，应舍去。∴。∴，即点P坐标为。②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝∴∴∠BCD＝90°设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形由∠BCD＝90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形∴综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。----------------------------分隔线-----------------------------------5、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.----------------------------分隔线-----------------------------------解：（1）由题意得：解得：∴抛物线解析式为：（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上解得：直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）（3）设P，故∵∽∴或即或解得或又在抛物线上，或解得或∴P点坐标为和。5BDPECA-6-4-2FyxFE21246Gxy-4-6CEPDB51246FAG2-2第6页共7页_1275196315.unknown_1389277274.unknown_1389281728.unknown_1389282151.unknown_1389282294.unknown_1389282333.unknown_1389282400.unknown_1389286000.unknown_1389282305.unknown_1389282176.unknown_1389282022.unknown_1389279320.unknown_1389279680.unknown_1389279763.unknown_1389279851.unknown_1389279800.unknown_1389279708.unknown_1389279590.unknown_1389277429.unknown_1389278819.unknown_1389277355.unknown_1275197262.unknown_1275664778.unknown_1389276086.unknown_1389277074.unknown_1275664779.unknown_1275925913.unknown_1275664701.unknown_1275664777.unknown_1275197357.unknown_1275197180.unknown_1275197242.unknown_1275196376.unknown_1274342857.unknown_1275195362.unknown_1275196031.unknown_1275196225.unknown_1275196262.unknown_1275196173.unknown_1275195847.unknown_1275196004.unknown_1275195373.unknown_1274343621.unknown_1274377877.unknown_1275195167.unknown_1275195249.unknown_1274378211.unknown_1274378218.unknown_1274343664.unknown_1274343765.unknown_1274343957.unknown_1274344160.unknown_1274343709.unknown_1274343641.unknown_1274343458.unknown_1274343540.unknown_1274343583.unknown_1274343497.unknown_1274343346.unknown_1274343389.unknown_1274343315.unknown_1274342156.unknown_1274342417.unknown_1274342519.unknown_1274342758.unknown_1274342477.unknown_1274342321.unknown_1274342379.unknown_1274342236.unknown_1213823968.unknown_1274196361.unknown_1274196614.unknown_1213824098.unknown_1213823863.unknown_1213823910.unknown_1213823801.unknown