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高中数学《抛物线》文字素材4 新人教A版选修1-1

高中数学《抛物线》文字素材4 新人教A版选修1-1

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高中数学《抛物线》文字素材4 新人教A版选修1-1PAGE对课本一道习题的变式研究　　题目（习题第7题）过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证.　　证明：在本题中，直线过焦点，具有上述性质，反之若直线与抛物线的两个交点的纵坐标具有，直线是否经过焦点呢？　　变式1，若抛物线上两个动点的纵坐标分别是且满足，则直线经过焦点.　　证明：设的坐标分别为、.　　若，则由，，知，所以，，此时直线过焦点.　　若，由直线的斜率公式得：　　，　　又代入得　　因此三点共线，直线过焦点.　　即是过焦点的充要条件。　　变式2设是抛物线对称轴上的一个定点，过的...

高中数学《抛物线》文字素材4 新人教A版选修1-1

PAGE对课本一道习题的变式研究　　题目（习题第7题）过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证.　　证明：在本题中，直线过焦点，具有上述性质，反之若直线与抛物线的两个交点的纵坐标具有，直线是否经过焦点呢？　　变式1，若抛物线上两个动点的纵坐标分别是且满足，则直线经过焦点.　　证明：设的坐标分别为、.　　若，则由，，知，所以，，此时直线过焦点.　　若，由直线的斜率公式得：　　，　　又代入得　　因此三点共线，直线过焦点.　　即是过焦点的充要条件。　　变式2设是抛物线对称轴上的一个定点，过的直线交抛物线于两点，其纵坐标为，求证是定值。　　证明：因为与抛物线交于两点，因此可设的方程为代入中消去得：，由韦达定理知（定值）　　变式3设抛物线上面动点分别为，，且满足（为常数），问是否恒过来某一定点？　　解：当时，，的方程为　　将代入化简，整理得　　的方程为，　　即过定点.　　当时，结论成立，（实际上时，同号，点在对称轴的同侧且，所以当时，必有）　　变式4设抛物线的两动点，，满足（是常数），求中点的轨迹方程。　　解：设的坐标为，则，，又在抛物线上，所以有，，则，将，代入化简得点的轨迹方程是.　　由以上可知，对课本题进行联想、引申和改造，可以得到综合性强，形式新颖的命题，多思考、多训练可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新的能力。

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