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等差数列前n项和的性质

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等差数列前n项和的性质第二章数列2.3等差数列前n项和的性质1.等差数列的递推公式是什么?an-1+an+1=2an(n≥2)an-an-1=d(n≥2)【问题提出】2.等差数列通项公式是什么?结构上它有什么特征?在结构上是关于n的一次函数.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+k.3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么?4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系,可发掘出等差数列的一系列性质,我们将对此作些简单探究.思考1:若数列{an}的前n和那么数列{an}是等差数列吗?{an}是等差数列【知识探...

等差数列前n项和的性质
第二章数列2.3等差数列前n项和的性质1.等差数列的递推公式是什么?an-1+an+1=2an(n≥2)an-an-1=d(n≥2)【问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 提出】2.等差数列通项公式是什么?结构上它有什么特征?在结构上是关于n的一次函数.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+k.3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么?4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系,可发掘出等差数列的一系列性质,我们将对此作些简单探究.思考1:若数列{an}的前n和那么数列{an}是等差数列吗?{an}是等差数列【知识探究】『知识探究(一)——等差数列与前n项和的关系』思考2:将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数,这个函数有什么特点?当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.思考3:一般地,若数列{an}的前n和Sn=An2+Bn,那么数列{an}是等差数列吗?若Sn=An2+Bn+C呢?(1)数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn(2)数列{an}的前n项和是Sn=An2+Bn+C,则:①若C=0,则数列{an}是等差数列;②若C≠0,则数列{an}从第2项起是等差数列。思考4:若{an}为等差数列,那么是什么数列?数列{an}是等差数列为等差数列即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列,且公差是数列{an}的公差的一半。『知识探究(二)——等差数列前n项和的性质』思考1:在等差数列{an}中,每连续k项的和组成的数列,即数列a1+a2+…+ak,ak+1+ak+2+…+a2k,a2k+1+a2k+2+…+a3k,……是等差数列吗?性质:若数列{an}是等差数列,那么数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍然成等差数列思考3:在等差数列{an}中,设S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1,则S偶-S奇与等于什么?S偶-S奇=nd思考2:在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n三者之间有什么关系?S3n=3(S2n-Sn)思考4:设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则等于什么?思考5:在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn是否存在最值?如何确定其最值?当ak≥0,ak+1<0时,Sk为最大.【题型分类深度剖析】题型1:等差数列前n项和性质的简单应用例1:(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则该数列有()项。A.13B.12C.11D.10『变式探究』1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列{an}前n项和Sn=an2+(a+1)n+a+2,则an=.3.等差数列{an}中,已知S4=2,S8=7,则S12=_____;4.等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为(  )A.130B.170C.210D.2605.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-2011,,则S2011的值为(  )A.0B.2011C.-2011D.-2011×2011题型2:等差数列最值问题例2:等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?又∵n∈N*,∴n=10或n=11时,Sn取最小值.>>小结:求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法:方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn,讨论二次函数的性质方法2:讨论数列{an}的通项,找出正负临界项。(1)若a1>0,d<0,则Sn有大值,且Sn最大时的n满足an≥0且an+1<0;(2)若a1<0,d>0,则Sn有小值,且Sn最小时的n满足an≤0且an+1>0;『变式探究』1.首项为正数的等差数列{an},它的前3项和与前11项和相等,则此数列前________项和最大?2.等差数列{an}前n项和Sn中,以S7最大,且|a7|<|a8|,则使Sn>0的n的最大值为_____.3.等差数列{an}中,已知|a7|=|a16|=9,且a14=5,则使an<0的最大自数n=().A.10B.11C.12D.134.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S12>0,S13<0.(1)求数列{an}公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个值最大。5.数列{an}首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.(1)求数列{an}的公差d;(2)求前n项和Sn的最大值;(3)当Sn>0时,求n的最大值;题型3:等差数列中的an与Sn的关系例3:Sn,Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和,且,则.1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n的个数是(  )A.2B.3C.4D.5『变式探究』例4:已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.当n=1时,a1=S1=12-12=11;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n.∵n=1时适合上式,∴{an}的通项公式为an=13-2n.由an=13-2n≥0,得n≤,即当1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;当n≥7时,an<0.解析:题型4:求等差数列的前n项的绝对值之和(1)当1≤n≤6(n∈N*)时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.(2)当n≥7(n∈N*)时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6)=-Sn+2S6=n2-12n+72.『变式探究』1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0,n∈N*.(1)求数列{an}的通项;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.(1)由an+2-2an+1+an=0得,2an+1=an+an+2,所以数列{an}是等差数列,d==-2,∴an=-2n+10,n∈N*.解析:②当n≥6,n∈N*时,题型5:等差数列的综合应用①2-②2得4an=an2-an-12+2an-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴an+an-1>0,∴an-an-1=2,∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.『变式探究』
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