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论微积分在经济分析中的应用

论微积分在经济分析中的应用论微积分在经济分析中的应用摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值1导数在经济分析中的应用1.1边际分析在经济分析中的的应用1.1.1边际需求与边际供给设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似...

论微积分在经济分析中的应用摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值1导数在经济分析中的应用1.1边际分析在经济分析中的的应用1.1.1边际需求与边际供给设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。1.1.3边际收益函数总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。1.1.4边际利润函数利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：R（Q）=20Q=-Q2+30Q-20L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？1.2弹性在经济分析中的应用1.2.1弹性函数设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。1.2.2需求弹性经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。1.2.3收益弹性收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即R=PQ=Pf(p)R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。1.3最大值与最小值在经济问题中的应用最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。1.3.1最低成本问题令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。1.3.2最大利润问题例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。2积分在经济中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。解:总成本函数为总收益函数为R(x)=500x在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。参考文献［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［Ｊ］.职业圈，2007,（4）.［3］李春萍.导数与积分在经济分析中的应用［Ｊ］.商业视角，2007,（5）.［4］褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用［Ｊ］.枣庄学院学报，2007,（10）.

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