《近世代数》模拟试卷(二)
一、判断
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)
1、设
与
都是非空集合,那么
。 ( )
2、设
、
、
都是非空集合,则
到
的每个映射都叫作二元运算。( )
3、只要
是
到
的一一映射,那么必有唯一的逆映射
。 ( )
4、如果循环群
中生成元
的阶是无限的,则
与整数加群同构。 ( )
5、如果群
的子群
是循环群,那么
也是循环群。 ( )
6、群
的子群
是不变子群的充要条件为
。 ( )
7、如果环
的阶
,那么
的单位元
。 ( )
8、若环
满足左消去律,那么
必定没有右零因子。 ( )
9、
中满足条件
的多项式叫做元
在域
上的极小多项式。 ( )
10、若域
的特征是无限大,那么
含有一个与
同构的子域,这里
是整数环,
是由素数
生成的主理想。 ( )
二、单项选择题(从下列各题四个备选
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)
1、设
和
都是非空集合,而
是
到
的一个映射,那么( )
①集合
中两两都不相同;
②
的次序不能调换;
③
中不同的元对应的象必不相同;
④一个元
的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算( )
①在整数集
上,
; ②在有理数集
上,
;
③在正实数集
上,
;④在集合
上,
。
3、设
是整数集
上的二元运算,其中
(即取
与
中的最大者),那么
在
中( )
①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设
为群,其中
是实数集,而乘法
,这里
为
中固定的常数。那么群
中的单位元
和元
的逆元分别是( )
①0和
; ②1和0; ③
和
; ④
和
。
5、设
和
都是群
中的元素且
,那么
( )
①
; ②
; ③
; ④
。
6、设
是群
的子群,且
有左陪集分类
。如果6,那么
的阶
( )
①6; ②24; ③10; ④12。
7、设
是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )
①
的同态核是
的不变子群; ②
的不变子群的逆象是
的不变子群;③
的子群的象是
的子群; ④
的不变子群的象是
的不变子群。
8、设
是环同态满射,
,那么下列错误的结论为( )
①若
是零元,则
是零元; ②若
是单位元,则
是单位元;
③若
不是零因子,则
不是零因子;④若
是不交换的,则
不交换。
9、下列正确的命题是( )
①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;
③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若
是域
的有限扩域,
是
的有限扩域,那么( )
①
; ②
;
③
; ④
。
三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)
1、设集合
;
,则有
。
2、如果
是
与
间的一一映射,
是
的一个元,则
。
3、设集合
有一个分类,其中
与
是
的两个类,如果
,那么
。
4、设群
中元素
的阶为
,如果
,那么
与
存在整除关系为 。
5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换
,那么
。
7、若
是有单位元的环
的由
生成的主理想,那么
中的元素可以表达为 。
8、若
是一个有单位元的交换环,
是
的一个理想,那么
是一个域当且仅当
是 。
9、整环
的一个元
叫做一个素元,如果 。
10、若域
的一个扩域
叫做
的一个代数扩域,如果 。
四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有
。
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)
1、给出下列四个四元置换
组成的群
,试写出
的乘法表,并且求出
的单位元及
和
的所有子群。
2、设
是模6的剩余类环,且
。如果
、
,计算
、
和
以及它们的次数。
六、证明题(每小题10分,共40分)
1、设
和
是一个群
的两个元且
,又设
的阶
,
的阶
,并且
,证明:
的阶
。
2、设
为实数集,
,令
,将
的所有这样的变换构成一个集合
,试证明:对于变换普通的乘法,
作成一个群。
3、设
和
为环
的两个理想,试证
和
都是
的理想。
4、设
是有限可交换的环且含有单位元1,证明:
中的非零元不是可逆元就是零因子。
近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、填空题
1、
。 2、
。 3、
。 4、
。
5、变换群。 6、
。 7、
。 8、一个最大理想。
9、p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子。
10、E的每一个元都是F上的一个代数元。
四、改错题
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
消去律成立
3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
S=I或S=R
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有d=d′。
一定有最大公因子;d和d′只能差一个单位因子
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
不都等于零的元
《近世代数》测试题(二)
一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
(从下列备选答案中选择正确答案)
1、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。
(A) aob=a+b-2 (B) aob=a( b
(C) aob=2( a+3( b (“(”为数的乘法)
2、设H≤G,a,b∈G,则H a = H b的充要条件是( ).
(A) ab∈H
(B) ab-1∈H (C) a-1b∈H
3、在整数环Z中,包含(15)的极大理想是( )。
(A) (3) (B) (5) (C) (3)或(5)
4、若Q是有理数域,则(Q(
):Q)是( )
(A) 6 (B) 3 (C) 2
5、下面不成立的命题是( )
(A) 域是整环
(B) 除环是域
(C) 整数环是整环
二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内)
1、环Z(i)={a+bi|a,b
Z}的单位是________________。
2、若a是群G中的一个8阶元,则a
的阶为________ 。
3、设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系~下:
A~B
秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。
4、6次对称群S
中,(1245)
(46)=____________。
5、12的剩余类环Z12的零因子是 。
三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)
1、若H
N,H
G,那么NH
G。 ( )
2、设I是一主理想环,则I是一欧氏环。 ( )
3、商环
是一个域。 ( )
4、设f 是群G到群
的同态映射,H
G,则 f (H)
。 ( )
5、素数阶的群G一定是循环群。 ( )
四、计算题(本题共2小题,每小题10分,共20分)(要求写出主要计算步骤及结果)
1、在10次对称群S10中,
=
.
将
表成一些不相交轮换之积,并求
及
。
2、在整数环Z中,试求出所有包含30的极大理想。
五、证明题(本题共4小题,每小题10分,共40分)
1、设f是环R到环
的满同态,A为R的理想,证明:
。
2、设N
G, [G:N]=2009, 证明:对
, 恒有
。
3、设R为交换环,则R的每个极大理想都是素理想。
4、设G与
是两个群,
,K = Kerf,
,令H = {x |x∈G ,f(x) ∈
},证明:
且
。
近世代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( )个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射
:x→x+2,
x∈R,
则
是从A到B的( )
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )
A.(1),(123),(132)
B.(12),(13),(23)
C.(1),(123)
D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有( )个。
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是( )
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“
”:
m, n∈Z, m
n=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“
”:
m, n∈Z, m
n=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于
a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=
___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于
a∈G,则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。
13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________
___________。
14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是___________
___________。
15.有理数域Q上的代数元
+
在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16.设Z为整数加群,Zm为以m为模的剩余类加群,
是Z到Zm的一个映射,其中
:k→[k],
k∈Z,
验证:
是Z到Zm的一个同态满射,并求
的同态核Ker
。
17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
19.设G={a,b,c},G的代数运算“
”
由右边的运算表给出,证明:(G,
)
作成一个群。
20.设
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I是R的一个子环,但不是理想。
21.设(R,+,·)是一个环,如果(R,+)是一个循环群,证明:R是一个交换环。
2007年春季学期
近世代数
1、 找一个半群,使得它有无穷多个右幺元。(10分)
2、 如果半群(试卷更正后)有两个不同的左幺元,问:该半群有多少个右幺元?为什么?(10分)
3、 问:6阶群中除单位元外,其它元素的阶都为2,是否成立?为什么?(15分)
4、 叙述群的同态基本定理,并找出两个阶大于1的子群,说明它们是同态的。(15分)
5、 设G是一个群,H是G的子群并且[G:H]=2,证明:对任意的x∈G,都有x²∈H。(15分)
6、 如果e是环R的唯一左单位元,那么它也是R的右单位元。(15分)
7、 设R是一个无零因子环,如果R中的元素a 有左逆元,证明a 必有右逆元。(10分)
8、 证明,在一个格里,如果a∪b∪c=a∩b∩c,那么a=b=c。(10分)
多所高校近世代数题库
一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)
1、设
与
都是非空集合,那么
。 ( )
2、设
、
、
都是非空集合,则
到
的每个映射都叫作二元运算。( )
3、只要
是
到
的一一映射,那么必有唯一的逆映射
。 ( )
4、如果循环群
中生成元
的阶是无限的,则
与整数加群同构。 ( )
5、如果群
的子群
是循环群,那么
也是循环群。 ( )
6、近世代数中,群
的子群
是不变子群的充要条件为
。 ( )
7、如果环
的阶
,那么
的单位元
。 ( )
8、若环
满足左消去律,那么
必定没有右零因子。 ( )
9、
中满足条件
的多项式叫做元
在域
上的极小多项式。 ( )
10、若域
的特征是无限大,那么
含有一个与
同构的子域,这里
是整数环,
是由素数
生成的主理想。 ( )
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二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)
1、设
和
都是非空集合,而
是
到
的一个映射,那么( )
①集合
中两两都不相同;②
的次序不能调换;
③
中不同的元对应的象必不相同;
④一个元
的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算( )
①在整数集
上,
; ②在有理数集
上,
;
③在正实数集
上,
;④在集合
上,
。
3、设
是整数集
上的二元运算,其中
(即取
与
中的最大者),那么
在
中( )
①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设
为群,其中
是实数集,而乘法
,这里
为
中固定的常数。那么群
中的单位元
和元
的逆元分别是( )
①0和
; ②1和0; ③
和
; ④
和
。
5、设
和
都是群
中的元素且
,那么
( )
①
; ②
; ③
; ④
。
6、设
是群
的子群,且
有左陪集分类
。如果6,那么
的阶
( )
①6; ②24; ③10; ④12。
7、设
是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )
①
的同态核是
的不变子群; ②
的不变子群的逆象是
的不变子群;③
的子群的象是
的子群; ④
的不变子群的象是
的不变子群。
8、设
是环同态满射,
,那么下列错误的结论为( )
①若
是零元,则
是零元; ②若
是单位元,则
是单位元;
③若
不是零因子,则
不是零因子;④若
是不交换的,则
不交换。
9、下列正确的命题是( )
①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;
③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若
是域
的有限扩域,
是
的有限扩域,那么( )
①
; ②
;
③
; ④
。
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三、(2011年近世代数)填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)
1、设集合
;
,则有
。
2、如果
是
与
间的一一映射,
是
的一个元,则
。
3、设集合
有一个分类,其中
与
是
的两个类,如果
,那么
。
4、设群
中元素
的阶为
,如果
,那么
与
存在整除关系为 。
5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换
,那么
。
7、若
是有单位元的环
的由
生成的主理想,那么
中的元素可以表达为 。
8、若
是一个有单位元的交换环,
是
的一个理想,那么
是一个域当且仅当
是 。
9、整环
的一个元
叫做一个素元,如果 。
10、若域
的一个扩域
叫做
的一个代数扩域,如果 。
四、(2011年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有
。
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
五、(2011年近世代数)计算题(共15分,每小题分标在小题后)
1、给出下列四个四元置换
组成的群
,试写出
的乘法表,并且求出
的单位元及
和
的所有子群。
2、设
是模6的剩余类环,且
。如果
、
,计算
、
和
以及它们的次数。
3、群G=(a),|a|=7,求出群G的所有子群。
六、(2011年近世代数)证明题(每小题10分,共40分)
1、设
和
是一个群
的两个元且
,又设
的阶
,
的阶
,并且
,证明:
的阶
。
2、设
为实数集,
,令
,将
的所有这样的变换构成一个集合
,试证明:对于变换普通的乘法,
作成一个群。
3、设
和
为环
的两个理想,试证
和
都是
的理想。
4、设
是有限可交换的环且含有单位元1,证明:
中的非零元不是可逆元就是零因子。
5、整数环Z中,证明(3,7)=(1)
6、证明:域是欧式环。
7、证明群同态定理第一条。
8、R[x]条件下,做映射:f:g(x)=g(0),求证:在f映射下R[x]与R同构,并求其核。
多所高校近世代数题库答案
一、(近世代数)判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、(近世代数)单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、(近世代数)填空题
1、
。 2、
。 3、
。 4、
。
5、变换群。 6、
。 7、
。 8、一个最大理想。
9、p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子。
10、E的每一个元都是F上的一个代数元。
四、(近世代数)改错题
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
消去律成立
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3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
S=I或S=R
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有d=d′。
一定有最大公因子;d和d′只能差一个单位因子
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
不都等于零的元
近世代数模拟试题一
一、填空题(每空3分,共30分)
1、若A={2,5}, B={1,0,-2}则A×B=
2、设集合
有一个分类,其中
与
是
的两个类,如果
,那么
。
3、循环群的子群是--------。
4、已知群
中的元素
的阶等于50,则
的阶等于 。
5、如果无零因子环R的特征是有限整数
,那么
是一个------------。
6、整数环Z关于理想(m)的商环为
7、剩余类环Z6的子环S={[0],[2],[4]},则S的单位元是____________.
8、设I是唯一分解环,则I[x]与唯一分解环的关系是____________.
9、在S6中分解为循环之积
10、一个有单位元的无零因子 称为整环。
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、设S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
2、设
为群,其中
是实数集,而乘法
,这里
为
中固定的常数。那么群
中的单位元
和元
的逆元分别是( )
A、0和
; B、1和0; C、
和
; D、
和
。
3、在一个环中,单位元( )
A、至少有一个,但可能有多个;
B、至多有一个,但可能没有;
C、有且仅有一个;
D、可能无数个;
4、设
是群
的子群,且
有左陪集分类
。如果6,那么
的阶
( )
A、6; B、24; C、10; D、12。
5、设
是整数集
上的二元运算,其中
(即取
与
中的最大者),那么
在
中( )
A、不适合交换律;B、不适合结合律;C、存在单位元;D、每个元都有逆元。
三、简答题(每小题8分,共40分。下列题正确错误均需说明,正确的,予以证明;错误的,给出反例。判断3分,说明5分,判断错误,全题无分。)
1、A={所有不等于零的实数},
是普通除法:a
b=
,这个代数运算适合不适合结合律。
2、A={所有实数}。
这个代数运算适合不适合结合律?
3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
4、A={所有实数},A的元间的关系
以及
是不是等价关系?
5、全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
四、证明题(共15分)
1、验证集合
关于普通加法和乘法作成一个域.
近 世 代 数 试 卷
一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)
1、设
与
都是非空集合,那么
。 ( )
2、设
、
、
都是非空集合,则
到
的每个映射都叫作二元运算。( )
3、只要
是
到
的一一映射,那么必有唯一的逆映射
。 ( )
4、如果循环群
中生成元
的阶是无限的,则
与整数加群同构。 ( )
5、如果群
的子群
是循环群,那么
也是循环群。 ( )
6、群
的子群
是不变子群的充要条件为
。 ( )
7、如果环
的阶
,那么
的单位元
。 ( )
8、若环
满足左消去律,那么
必定没有右零因子。 ( )
9、
中满足条件
的多项式叫做元
在域
上的极小多项式。 ( )
10、若域
的特征是无限大,那么
含有一个与
同构的子域,这里
是整数环,
是由素数
生成的主理想。 ( )
二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)
1、设
和
都是非空集合,而
是
到
的一个映射,那么( )
①集合
中两两都不相同;②
的次序不能调换;
③
中不同的元对应的象必不相同;
④一个元
的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算( )
①在整数集
上,
; ②在有理数集
上,
;
③在正实数集
上,
;④在集合
上,
。
3、设
是整数集
上的二元运算,其中
(即取
与
中的最大者),那么
在
中( )
①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设
为群,其中
是实数集,而乘法
,这里
为
中固定的常数。那么群
中的单位元
和元
的逆元分别是( )
①0和
; ②1和0; ③
和
; ④
和
。
5、设
和
都是群
中的元素且
,那么
( )
①
; ②
; ③
; ④
。
6、设
是群
的子群,且
有左陪集分类
。如果6,那么
的阶
( )
①6; ②24; ③10; ④12。
7、设
是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )
①
的同态核是
的不变子群; ②
的不变子群的逆象是
的不变子群;③
的子群的象是
的子群; ④
的不变子群的象是
的不变子群。
8、设
是环同态满射,
,那么下列错误的结论为( )
①若
是零元,则
是零元; ②若
是单位元,则
是单位元;
③若
不是零因子,则
不是零因子;④若
是不交换的,则
不交换。
9、下列正确的命题是( )
①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;
③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若
是域
的有限扩域,
是
的有限扩域,那么( )
①
; ②
;
③
; ④
。
三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)
1、设集合
;
,则有
。
2、如果
是
与
间的一一映射,
是
的一个元,则
。
3、设集合
有一个分类,其中
与
是
的两个类,如果
,那么
。
4、设群
中元素
的阶为
,如果
,那么
与
存在整除关系为 。
5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换
,那么
。
7、若
是有单位元的环
的由
生成的主理想,那么
中的元素可以表达为 。
8、若
是一个有单位元的交换环,
是
的一个理想,那么
是一个域当且仅当
是 。
9、整环
的一个元
叫做一个素元,如果 。
10、若域
的一个扩域
叫做
的一个代数扩域,如果 。
四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有
。
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)
1、给出下列四个四元置换
组成的群
,试写出
的乘法表,并且求出
的单位元及
和
的所有子群。
2、设
是模6的剩余类环,且
。如果
、
,计算
、
和
以及它们的次数。
六、证明题(每小题10分,共40分)
1、设
和
是一个群
的两个元且
,又设
的阶
,
的阶
,并且
,证明:
的阶
。
2、设
为实数集,
,令
,将
的所有这样的变换构成一个集合
,试证明:对于变换普通的乘法,
作成一个群。
3、设
和
为环
的两个理想,试证
和
都是
的理想。
4、设
是有限可交换的环且含有单位元1,证明:
中的非零元不是可逆元就是零因子。
近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、填空题
1、
。 2、
。 3、
。 4、
。
5、变换群。 6、
。 7、
。 8、一个最大理想。
9、p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子。
10、E的每一个元都是F上的一个代数元。
四、改错题
1、如果一个集合
的代数运算
同时适合消去律和分配律,那么在
里,元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合
作成一个群,如果满足
对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
消去律成立
3、设
和
是环
的理想且
,如果
是
的最大理想,那么
。
S=I或S=R
4、唯一分解环
的两个元
和
不一定会有最大公因子,若
和
都是
和
的最大公因子,那么必有d=d′。
一定有最大公因子;d和d′只能差一个单位因子
5、
叫做域
的一个代数元,如果存在
的都不等于零的元
使得
。
不都等于零的元
玉林师范学院期末课程考试试卷
课程名称:近世代数 考试专业:数学与应用数学 考试年级:
题 号
一
二
三
四
总 分
应得分
24
10
45
31
满分:100
实得分
评分:
评卷人
签 名
得 分
评卷人
1、 填空题(每空2分,共24分)
1、在整数集Z中定义等价关系“~”:
.
则由“~”所决定的等价分类为: .
2、设
=
是循环群,若
,则
与 加群同构。
3、设
是一个6阶群,则
的真子群的一切可能的阶数是 。
4、设
是一个10阶群,H是
的一个5阶子群,则H在G里的指数为 。
5、设R是一个特征为13的交换环,则对于
,有
。
6、对于模n的剩余类环
,当n是 时,
是域。
7、已知整数集R=Z关于运算a
b=a+b-1, a⊙b=a+b-ab,作成一个有单位元的环(R,
⊙),则环R的单位元为 ,零元为 。
8、剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}中,它的零因子有: 。
9、若
是一个有单位元的交换环,
是
的一个理想,那么
是一个域当且仅当
是 。
10、整数环Z的单位是 ,元素5的相伴元是 。
得 分
评卷人
二、单项选择题(每小题2分,共10分)
1、设整数集Z,Z的代数运算是普通乘法,下列映射是Z到Z的同态满射的有( )
A、 x→-x; B、x→∣x∣; C 、x→x
2、设H是群G的子群,a,b
G,则aH=bH的充分必要条件是( )
A、
; B、
; C、
。
3、下列正确的命题是( )
A、欧氏环必是唯一分解环; B、主理想环必是欧氏环;
C、唯一分解环必是主理想环;
4、在有1的环R中,下列命题正确的有( )
A、 R的单位必是单位元; B、R的单位元必是单位;
C、R的零元必是零因子。
5、若
是有单位元的交换环,则
的主理想
中元素的形式为( )
A、
; B、
;
C、
EMBED Equation.DSMT4
三、计算题(15+10+10=35分)
1、(15分)设9元置换
,
1)求
;
2)将
表示为不相连的循环置换的乘积;
3)求
的逆元。
2、(10分)设剩余类环
,求
的所有理想,并指出哪些是最大理想
3、(10分)设高斯整环
,求商环
,并指出此商环的零元及单位元。
得 分
评卷人
四、证明题(6+16+9=31分)
1、(6分)假设
和
是环
的两个理想.证明:
也是
的理想。
2、 (16分)已知
关于普通数的加法及乘法作成一个环,
(1) 证明
是整环; (2)求R的所有单位;
(3)求
的相伴元; (4)证明
是R的素元;
3、(9分)在二阶矩阵构成的环
(运算为矩阵的加法与乘法,矩阵中元素为整数)中,令
,
证明:(1)
是
的子环;
(2)映射
是整数加群Z到加群
的同构映射。
考 试 时 间
系(院): 年级: 专业: 班别: 学号: 姓名: 座位号:
——————————————————————————————————————————————————————
密 封 线 内 不 要 答 题
∞ 装 订∞ 线 ∞
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