2020年高考数学题根选载 评 看一个题根

PAGE高中数学 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 根选载1.评十年高考看一个题根——从“阿波罗尼斯圆”说起几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上。感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：题成海，题成河，说到题根并不多。教材深处留心找，找到题根 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 变薄。考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。那么，到底什么是题根？一、题根案例【根题】（人教A版必修2，p124，B组，3题。）已知点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.【解析】如图1，设动点，连结MO,MA,有：，化简得：，也就是：方程（1）即为所求点M的轨迹方程，它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。评注：1.根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以“长”出许多好题。2.阿波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。二、理论基础将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点到定点的距离之比为定值λ.（c，λ为正数），求点的轨迹方程.（本题实为2020年北京春季高考题）【解析】依题意，由距离公式：，化简得：【讨论】方程的图形是什么？=1\*GB3①当λ=1时，得x=0,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；②当λ≠1时，方程（1）变形得：，化成标准形式：，这是以为圆心，且半径的圆。（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）。【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：1.同一个方程，根据参数的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；2.当λ≠1时，不妨设c=1,可得：注意到：，可得：，说明这3数之间存在勾股关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；3.在方程（1）中，如圆心在y轴右边，如令，代入（1）得：方程（3）与具有类似的形式，只不过由于，圆心在y轴左边。这两个方程表示的图形关于y轴对称。例如分别取时，分别代入方程（2）与（3），得：和，它们的图形关于y轴（阿波罗直线）对称。所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；4.对于方程（1），只要λ≠1，它都表示圆，当λ无限接近于1乃至等于1时，其图形最终成为直线，这又是曲线由量变到质变的运动美。三、考场精彩【题1】（2020.江苏卷，17题（2））如图2，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。【解析】点C在直线上，故设∵半径，∴圆C的方程是：．满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，由，这里圆心为D（0，-1）,半径．两圆有公共点的条件是：即，解得．评注：图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当时，圆C为与所求圆D相切；当时，圆C为,也与所求圆D相切。这样，答案的正确性也就不言而喻了．【题2】[2020·苏南三校联考,15题]已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．【解析】（1）设点P的坐标为(x，y)，则eq\r((x＋3)2＋y2)＝2eq\r((x－3)2＋y2)，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)如图3，曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则△CQM必为直角三角形，|QM|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值.由点线距离公式得：，此时|QM|的最小值为eq\r(32－16)＝4，此时△CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，即l2的方程是x＝1或y＝－4.评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有,代入公式，立即得到：(x－5)2＋y2＝16．【题3】（2020.江苏卷，13题）满足条件的△ABC的面积的最大值是．【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，因为有，代入阿波罗圆公式得：。设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时.评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？由于，∴为△ACB的内角平分线；同理，为△ACB的外角平分线。这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径。于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”．因此，题3又有如下的轴上简洁解法:∵动点C到定点A(-1，0)和B（1，0）距离之比为,则有,,∴得为内分点，为外分点．圆半径，即为三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是.故△ABC的面积的最大值是.【题4】（2020，四川文8理6）已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的面积等于（）A.π　B.4π　　　　C.8π　　D.9π【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点．设AB的外分点为，由，即有C（4，0）.于是圆直径为，∴，所求轨迹面积，故选B.评注：本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为，当时，直接代入即得。【题5】△ABC中，角C的平分线交AB于点T，且AT=2，TB=1.若AB上的高线长为2，求△ABC的周长.【解析】建立如图5的直角坐标系，由条件知，故点C的轨迹是阿波罗圆D，且T为AB的内分点。设AB的外分点为，∵，∴，即圆直径，故点D（2,0）．已知△ABC中AB上的高线长为2，即,且由勾股定理得：，故所求三角形ABC的周长．评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。四、题根拓展1.由已知轨迹向未知轨迹拓展【例1】已知定点B(3，0)，点A在圆上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.【解析】如图6，设点为圆上任意一点，有∠AOB的平分线交AB于，∵，则,∴，代入（1），化简得：方程（2）就是所求点M的轨迹方程.评注：条件依然有比例（），结论依然是圆，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办法解题。解本题的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 叫做“坐标转移法”（也有称此法为“相关点法”或“代入法”的）。其步骤是：①设在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程；②找出主动点A与被动点M的转化关系；③将此关系代入已知轨迹的方程，以代替，化简即得。2.由距离比向角度比拓展【例2】（2020四川理卷21题（1））如图，动点M到定点A（-1，0）,B（2.0），构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程。【解析】如图设∠MAB=𝛂，则∠MBA=2𝛂.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有而，，△MAB存在时，y≠0,化简得：．注意到∠MBA＞∠MAB,故所求轨迹为双曲线右支，其方程为.评注：距离比转换为角度比，轨迹不再是圆。此时求轨迹方程的一般方法是（五步法）：（1）设点.即设M（x,y）为符合轨迹条件的点；（2）列式.即列出能够反映轨迹条件与结论的一个等式；（3）转化.即将以上（2）中的等式转化成为关于变量x,y的二元方程；（4）化简.即将以上（3）中的方程转化成为最简形式；（5）讨论.如果以上（4）中的最简方程含有参变量，则需依据参变量的变化进行讨论，看其分别表示什么曲线，要特别注意做到“多退少补”。3．距离比向“向量比”拓展【例3】（选自2020.浙江训练题）．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，点M在椭圆上，且它的横坐标为1，点B(0，eq\r(3))，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→)).求椭圆的方程。【解析】如图8.当eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))时，点M为线段AB的中点。∵点M的横坐标为1，故必有A（2，0）,即又知，故有，连同代入椭圆方程：故所求椭圆方程为：．评注：本题A,M,B其实都是定点，这与求点M的轨迹方程是不一样的。点A,M,B确定，则椭圆方程也就唯一确定了。4.轨迹的解析法，向几何法拓展【例4】（2020.武汉华师一附中5月考，5题）是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解析】如图9,延长交于R，连OP.∵QP平分，且QP⊥F1R,　∴△QF1R为等腰三角形,且P为F1R的中点.设双曲线实轴为2a，，而OP是△F1F2R的中位线,为定值,则点P的轨迹为圆,选B.评注：假如“看”不到为定长的实质，而纯粹用解析法去做，其难度何止增加数倍？5.两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换【例5】（2020年高考江苏卷19题）如图10，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.【解析】以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴建立如图10的直角坐标系，有.连结有．，即是：，化简得：，所求轨迹是以（6，0）为圆心，以为半径的圆.评注：M,N不是定点，过渡到O1，O2就是定点了。将未知的动点向已知的定点转化，这就是本题思路。小结：题根，首先是一道题.但必须是具有生长性的优秀例题或 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；题根不同于“母题”。母题的繁衍是由上而下的，是同一试题的各种变式，没有明显的难易之分.而题根的生长则是由下而上的，相当于同一颗树上的不同分支，由简单到复杂，乃至拓广；题根也不同于“题串”。题串是将同一类型的题串联起来，题串中的题可以看成是“兄弟姊妹”关系。而题根，则是同一条根上繁衍出来的题的家族，它可能繁育了好多代；题根还不同于数学建模。建模具有转移性，即用同一种“模型”去套解不同的试题。而同一题根“生长”出来的题的家族，有可能适用于不同的数学模型；一些人提倡的‘试题串联’，与以上谈到的“题串”类似，也不同于题根。题根是与“题海”对立的概念。其最大特点是摒弃多而杂，提倡少而精；题根研究题的本源，即审查每一道有价值的题，其源头在哪里；研究题根时，如图养花育苗那样，永远的法则是优胜劣汰。不是什么样的题都可以作为题根，也不是什么样的题都能够加入题根序列的。【赠言】“题根”作者赠“题海”三言：（1）题海战术人笑痴，别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野怎收拾？（2）起早赶晚太可怜，我把题根送考生，无根解题负担重，有根解题一身轻。（3）不必走西又跑东，题根就在课本中，三人同行有吾师，三题相见有弟兄！五、题根精练1.设A(-3，0)，B(3，0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离为定比1∶2，则P点的轨迹图形所围成的面积是2.设复数（），若，则复数所对应的点的轨迹方程为3.（2002.全国文卷.21题）已知点P到两个定点M（-1，0）,N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。4.（2020.陕西理卷.17题）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．5.（1994.全国文卷.24题）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。参考答案1.。解法1.设P（x,y）,有。；解法2.将直接代入,阿波罗圆半径公式得：．2..如图，设复数对应的动点为C（x,y），那么：，2题解图，也就是．注：本题虽然是以复数的形式出现，但实质还是阿波罗圆的一种形式。注意到这里（原意是应转化为）.若直接代入公式：，亦得：.3.如图：点P的轨迹为阿波罗圆，故其方程为：作NQ⊥MP于3题解图Q,，直线MP的方程是：或（2）代入（1）：，解得从而，得交点；（3）代入（1），同理得交点,直线PN的方程为y=x-1或y=-x-1.4.（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）,P的坐标为.由已知得.∵P在圆上， ∴   ，即C的方程为;（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为,，将直线方程代入C的方程，得,即，∴   ，， ∴   线段AB的长度为．5.如图，连CM,CP,则CP⊥MP.由,化简得：当时，方程（1）表示直线；5题解图当时，得，它表示以为圆心,且半径的圆．、