PAGE§3.4 函数的应用(Ⅱ)【入门向导】 想一想？杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个
合同
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，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示
公式
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：20＋21＋22＋…＋2n－1＝eq\f(1－2n,1－2))幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax
1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax
题
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是我们需要关注的，具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k、b为常数，k≠0)；3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．4．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．6．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；7．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．函数应用举例例1某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)解 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)．…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．例2有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)＝eq\f(p,r)＋[g(0)－eq\f(p,r)]e－eq\f(r,v)t(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g(0)<eq\f(p,r)时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%(1)解 设0≤t1
答案
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为B.剖析 本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．正解 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反．错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误.求解实际问题四策略实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广．很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析．这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助．一、抓常规，乱中找序实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解．例1某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个．经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元分析 “总利润＝销售量×单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x元，每日利润为y元．解 若x≥18(即提价)，销售量为60－5(x－18)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元．若x<18(即降价)，销售量为60＋10(18－x)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，显然当售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元．比较知，商品售价定为每个20元，每日利润最大．二、抓重点，以纲带目实际问题的一大特点是：信息量大、文字叙述较长，有时还会出现很多数据，面对这些信息要善于找主要矛盾，抓重点，以纲带目．例2某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示.月份用水量(立方米)水费(元)一99二1519三2233根据上表中的数据求a、b、c的值．分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．解 设用水量为x立方米，支付费用为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c0≤x≤a，,8＋bx－a＋cx>a，))由05时，L(x)＝12－0.25x为减函数，此时L(x)<10.75(万元)．∴生产475台时利润最大.函数应用问题中的创新考点分析新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明．eq\x(考点一 看图计算)1．(广州模拟)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)图1 图2(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)解 (1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1＝ax＋b (a≠0)，由x＝1，y1＝0.25和x＝1.8，y1＝0.45，得a＋b＝0.25,1.8a＋b＝0.45，∴a＝0.25，b＝0，∴y1＝0.25x.设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2＝keq\r(x) (k≠0)，由x＝4，y2＝2.5，得k＝1.25.∴y2＝1.25eq\r(x).所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为y1＝0.25x，y2＝1.25eq\r(x).(2)设将10万元资金投资B产品x万元，A产品(10－x)万元，则利润y＝0.25(10－x)＋1.25eq\r(x).令t＝eq\r(x)，∴x＝t2.∴y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5＝－0.25(t2－5t)＋2.5＝－0.25(t－2.5)2＋4.0625.又0≤x≤10，∴t∈[0，eq\r(10)]．∴当t＝2.5时，即x＝6.25时，y取得最大值ymax＝4.0625,10－6.25＝3.75.所以，当投资A产品约4万元，B产品约6万元时，所获利润最大，最大利润约为4万元．点评 图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的．这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际．eq\x(考点二 几何图形与应用问题的交汇)2．(上海高考)某人定制了一批地砖．每块地砖(如图1)是边长为0.4m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比为3∶2∶1.若将此种地砖按如图2所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形．(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省(1)证明 图2是由四块图1所示的地砖绕点C按顺时针连续三次旋转90°后得到的，△CFE为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形．(2)解 设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料每平方米的价格依次为(单位：元)3a,2a，a，W＝eq\f(1,2)x2·3a＋eq\f(1,2)×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23]，00，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．所以当CE＝CF＝0.1m时，总费用最省．点评 本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力．
浙公网安备 33021202002483