2021年人教版高中数学必修第二册第7章《7.2.2课后课时精练》(含解析)

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是(　　)A．－1－iB．1＋iC．－1＋iD．1－i答案　B解析　解法一：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝(a＋bi)i＝－b＋ai＝1＋i，得a＝1，b＝－1，则z＝1－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.解法二：复数z＝eq\f(1＋i,i)＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)答案　B解析　因为z＝eq\f(－i,1＋i)＝eq\f(－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1－i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝(　　)A．12＋13iB．13＋12iC．－13iD．13i答案　D解析　因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2＋3i，所以z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.4．在复平面内，复数z＝eq\f(2,3－i)＋i3对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　复数z＝eq\f(2,3－i)＋i3＝eq\f(23＋i,3－i3＋i)－i＝eq\f(3＋i,5)－i＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，其在复平面上对应的点位于第四象限．5．已知eq\f(a,1＋i)＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝(　　)A．3B．2C．5D.eq\r(5)答案　D解析　a＝(1－bi)(1＋i)＝1＋b＋(1－b)i，由复数相等可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1＋b，,1－b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴|a－bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则eq\f(z2,z1)的虚部为(　　)A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)答案　D解析　因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以z2＝－1－2i，eq\f(z2,z1)＝eq\f(－1－2i,1－2i)＝eq\f(－1＋2i2,1－2i1＋2i)＝eq\f(－－3＋4i,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，所以其虚部为－eq\f(4,5).二、填空题7．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．答案　eq\r(2)解析　因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0且2a≠0，所以a2＝1，复数1＋ai的模为eq\r(1＋a2)＝eq\r(2).8．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc，则符合条件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1　－1,z　zi))＝4＋2i的复数z＝________.答案　3－i解析　∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1　－1,z　zi))＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝eq\f(4＋2i,1＋i)＝3－i.9．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，则zeq\o(z,\s\up6(－))＝________.答案　eq\f(1,4)解析　z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，所以zeq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(i,4)))＝eq\f(1,4).三、解答题10．在复数范围内解下列方程：(1)9x2＋64＝0；(2)x2＋5x＋7＝0.解　(1)移项，得9x2＝－64，二次项系数化为1，得x2＝－eq\f(64,9)，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)i))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)i))2＝－eq\f(64,9)，所以原方程的根为x＝±eq\f(8,3)i.(2)因为a＝1，b＝5，c＝7，Δ＝b2－4ac＝52－4×1×7＝－3<0，所以应用求根公式得原方程的根为x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a)＝eq\f(－5±\r(3)i,2×1)＝eq\f(－5±\r(3)i,2).B级：“四能”提升训练1．设z＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(i是虚数单位)，求z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6.解　z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z3＝－1，z4＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，z5＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，z6＝1，所以原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＋(－1＋eq\r(3)i)＋(－3)＋(－2－2eq\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(5\r(3),2)i))＋6＝3－3eq\r(3)i.2．已知复数z满足|z|＝eq\r(2)，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|×1＝eq\f(1,2)×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|×1＝eq\f(1,2)×2×1＝1，即△ABC的面积为1.