二倍角公式的应用二倍角公式的应用一.复习两角和(差)的三角公式cosxx±PJ=cosacosP+sinasinPsin(x±P)=sinacosP±cosasinPtant±P)=tana土tanP1+tanatan""P二・二倍角公式的推导1.余弦二倍角推导由cosG+P)=cosacosP一sinasinP,其中令：P=a得cos2a=cos2a一sin2a利用公式sin2a+cos2a=1可变形得：cos2acos2a=2cos2a-1=1—2sin2a2.正弦二倍角推导sir(x+P)=sinacosP+cosasinP...
二倍角公式的应用一.复习两角和(差)的三角公式cosxx±PJ=cosacosP+sinasinPsin(x±P)=sinacosP±cosasinPtant±P)=tana土tanP1+tanatan""P二・二倍角公式的推导1.余弦二倍角推导由cosG+P)=cosacosP一sinasinP,其中令：P=a得cos2a=cos2a一sin2a利用公式sin2a+cos2a=1可变形得：cos2acos2a=2cos2a-1=1—2sin2a2.正弦二倍角推导sir(x+P)=sinacosP+cosasinP其中令：P=a得sin2a=2sinacosa3.正切二倍角推导tanG+P)=tan以+tanP令：P=1一tanatanP,tan2a=2tanaa。—+k—a1一tan2a注：2且三・二倍角公式的应用1.公式的直接应用（注意角的取值范围）例］：已知s/=私ag（—兀）求sin2a,cos2a,tan2a的值。解：=153,aeS兀)••cosa=f1一sin2a1213「•sin2a=2sinacosa=120169cos2a=1—2sin2a119169sin2a_120tan2a=-=一侦cos2a119公式的逆用例2：求下列各式的值：⑴sin15。cos15。2tan22.5。(2)1一tan222.5。解:Cl)sin15cos15=§X2sinI5cosl5=：sin3(Z；2tan22.5(2)1一tan222.5tan453.公式的活用例3：化简(1)sin°cos22sin20°cos20(2)cos40。cos80°解：（1）(2)sin0cos0=1x2sin0cos0=1sin02222222sin20°cos20°cos40°cos80°sin40。cos40。cos80°—sin80°cos80。二21sin160°4—sin20°4sin2n+1asinacosacos2a...cos2na=注：(2)可以推广为4.降幕公式(二倍角公式的变形).1一cos2asin2a=21-cos2Bcos2B=2以下列举几个例子：D函数y=2cos2x-—-1是"4)A.最小正周期为—的奇函数C.最小正周期为—的奇函数2解：直接用降幕公式得y=cos(2x乙2n+1(A)B.最小正周期为—的偶函数D.最小正周期为—的偶函数2=sin2x，故选A。2)(2009年上海卷)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是解：.-—・—y=cos2x+1+sin2x=■<2sin(2x+—)+1降幕得4，从而最小值为1-\：'2。3)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x-求函数f⑴的最小正周期；求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时X的集合。解：原函数化简得:f(x)=sin2x-(1-cos2x)=-J2sin(2x+；)-1则：(I)函数f(x)的最小正周期为兀；(II)函数f(x)的最大值为/2-1,取最大值时sin(2x+：)=1，2x+—=2k兀+x=k兀—(k=0,±1,±2...)可得42，艮口8从而f(x)取最大值时X的集合为，，兀，，八一一、xIx=k冗+~^(k=0,±1,±2...)四.公式的推广万能置换公式(正弦和余弦可化为正切)c以2tan—2以一—以sina=2sin亶cos亶="气22sin2兰+cos2兰1+tan2兰TOC\o"1-5"\h\z222.,以以以1-tan2—cos以=cos2—-sin2一=222-以1+tan2—2c以2tan—,„2tan以=4以1+tan2—2sin2a1一cos2a、、tana==…、一..、.注：cos2a+1sin2a（正切也能化为正弦和余弦）sinx+cosx=tanx例1：xg（0,兀），且5,求tanX。TOC\o"1-5"\h\zX—兀、x一^解：Xg（0,兀），则2G（0，a），从而tanx存在，设tan2=（0,+勺，.12t1-121sinx+cosx=_n+=_则g51+121+125n3t2-5t-2=0nt=2或t=—2（舍）3ntanx==—_1—123五.总结二倍角公式是和角公式的特殊化，是一般化为特殊的常见数学思想，因此，在记忆二倍角公式时，一定要和和角公式一起记忆；由二倍角公式变形得到的降幕公式也是考题中常见的，也要熟练记忆和运用；和三角函数有关的题目一般都是运用公式解题，最重要的是能活用那些公式，其根本是和差角公式，二倍角公式和降幕公式虽是和角公式的推导，但解题时的熟练运用能节省大量时间，一定要熟练掌握。最后多多练习！
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