福建省福州市2020学年高二数学下学期期中联考试题 理（含解析）

PAGE福建省福州市八县（市）一中2020学年高二下学期期中联考数学（理）试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A.三个内角都不大于B.三个内角都大于C.三个内角至多有一个大于D.三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】“至少有一个”的否定词是“没有一个”，所以此题应选B.2.复数满足，则的虚部是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过计算出，从而得到，根据虚部的概念即可得结果.【详解】∵，∴，∴，即的虚部是，故选A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3.将曲线按变换后的曲线的参数方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由变换：可得：,代入曲线可得：，即为：令(θ为参数)即可得出参数方程。故选：D.4.设，，，则的大小关系()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过微积分基本定理计算出的值，通过积分的几何意义可求出的值，比较即可得结果.【详解】∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与轴、轴所围成的封闭曲线的面积，等于，，∴，故选C.【点睛】本题主要考查了分别利用微积分基本定理和定积分的几何意义计算定积分的值，属于基础题．5.已知函数的导函数为，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，令，先求出的值，根据导数的概念即可得到结论．【详解】∵，∴，令，则，即，则，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的计算，根据导数公式以及求出是解决本题的关键，属于中档题.6.数学归纳法证明，过程中由到时，左边增加的代数式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当时，左边的代数式为，当时，左边的代数式为，故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：，故选D．【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化，属于中档题.7.已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合函数图象比较与的大小，求出成立的的范围，求出的导数，判断其与的关系即可.详解】结合图象：和时，，即，而，故在，递减，故选B．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断与的大小是解题的关键，属于中档题.8.平面几何中，有边长为的正三角形内任意点到三边距离之和为定值．类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质，利用特殊点，取正四面体外接球的球心即可.【详解】类比在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为正四面体内任一点到各个面的距离之和，如图：取正四面体外接球的球心O由棱长为可以得到，，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，∴棱长为的正四面体内任一点到各个面的距离之和，故选B．【点睛】本题主要考查由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，属于中档题.9.设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用导数可得，在时单调递增，要使对任意的，有成立，只需．【详解】由于，，∵，，∴，，即，在时单调递增，由任意的，，都有成立，所以，即，∴，∴，又，得，故选C．【点睛】本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．10.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A.B.C.D.【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象如图，当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，当直线和函数f(x)相切时，当x>1时，函数,设切点为(m,n)，则切线斜率，则对应的切线方程为,即，∵直线切线方程为y=ax，,解得，即此时,此时直线y=ax与f(x)只有一个交点，不满足条件，若方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，则满足.实数的取值范围是.本题选择C选项.11.若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根的个数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案.【详解】，，是方程的两根，由，得，或，即的根为或的解．如图所示，由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3，故选A．【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.12.已知函数的定义域是，是的导数，，对，有是自然对数的底数）．不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，对函数进行求导，令，求出的最小值为，进而可得恒成立，得到的单调性，结合可得结果.【详解】构造函数，∴，令，∴，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；∴，又∵，∴在上恒成立，即函数在上单调递增，又∵，即，不等式，即不等式的解集为，故选D.【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若且，那么的最小值为_______________．【答案】【解析】【分析】复数满足，表示以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，求出即可得出结果．【详解】复数满足，表示以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离．∵，∴的最小值是，故答案为．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为在上能成立，令，则将问题转化为，从而得到实数的取值范围．【详解】∵函数，∴在上能成立，∴，令，即为，∵的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选答案为．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数存在减区间，经常会运用分离变量，转化为求最值．属于中档题．15.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术记载：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定，_______．【答案】1【解析】【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子.【详解】可以令，由，解的其值为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想方法，考查从方法上类比，属于基础题.16.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道．给出下列函数：①；②；③；④．其中在区间上有一个通道宽度为的函数是__________（写出所有正确的序号）．【答案】【解析】【分析】对于①，只需考虑反比例函数在上的值域即可；对于②，要分别考虑函数的值域和图象性质；对于③，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可．【详解】对于①，当时，，故在有一个宽度为1的通道，两条直线可取，；对于②，当时，，故在不存在一个宽度为1的通道；对于③，当时，表示双曲线在第一象限的部分，双曲线的渐近线为，故可取另一直线为，满足在有一个宽度为1的通道；对于④，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，故可得函数的值域为，两条直线可取，；∴在区间上通道宽度可以为1的函数有①③④，即答案为①③④.【点睛】本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是通过研究函数的性质，找出满足题意的直线，属于中档题.三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线：;：（Ⅱ）的值为.【解析】试题分析：（1）根据将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程（2）根据直线参数方程几何意义将条件转化为，即，再联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得试题解析：（1）由得：，∴曲线的直角坐标方程为：，由消去得：，∴直线的普通方程为：（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到设对应的参数分别为，则是方程的两个解，由韦达定理得：，因，所以，解得．考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义18.已知二次函数的图像与直线相切于点.（1）求函数的解析式；（2）求由的图像、直线及直线所围成的封闭区域的面积.【答案】(1)；(2)9.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据条件列方程组，解得结果，（2）先确定可积区间，再根据定积分求结果.【详解】（1）由得，因为二次函数的图像与直线相切于点，所以，即，解得，因此.（2）作函数的图像、直线及直线的图象如下：则由的图像、直线及直线所围成的封闭区域的面积为：.【点睛】本题考查定积分以及导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.19.设为虚数单位，，已知，，．（1）你能得到什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想；（2）已知，试利用的结论求．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）猜想（，利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用；（2）根据，利用（1）的结论即可得出．【详解】（1）猜想（）成立证明：①当n=1时，左边=右边=所以猜想成立②假设当时，猜想成立，即则当时，当时，猜想也成立综上，由①②可得对任意，猜想成立（2）∵∴【点睛】本题考查了数学归纳法、复数的运算法则、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.某车间生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该车间制造电子元件的过程中，次品率与日产量的函数关系是：．（1）写出该车间的日盈利额（元）与日产量（件）之间的函数关系式；（2）为使日盈利额最大，该车间的日产量应定为多少件？【答案】（1）；（2）当时，最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．【解析】试题分析：（1）)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，正品数为x(1－P)，即可写出函数；（2）利用导数求导，令导数为0，即可求出函数的最值.试题解析：(1)由题意可知次品率P＝日产次品数÷日产量，每天生产x件，次品数为xP，正品数为x(1－P)．因为次品率P＝，当每天生产x件时，有x·件次品，有x件正品，所以T＝200x－100x·＝25·.(2)T′＝－25·，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)当00；当x>16时，T′<0；所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，若对，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的定义域为，求导数，若，若，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知，在上单调递增，从而，等价于，，令，通过函数的导数求解函数的最值，推出结果.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导数，得.若，则，此时在上单调递增，若，则由，得.当时，；但时，，此时在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知，在上单调递增，∴.从而，等价于，①，令，则，因此，①等价于在上单调递减，∴对恒成立，∴对恒成立，∴.又，当且仅当，即时，等号成立，∴，故的取值范围为.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.22.已知；（1）当时，求的单调区间；（2）求证：当时，方程上无解．【答案】（1）在上单调递增；（2）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导可得，令，利用导数求出其最小值，即，结合可得在内恒成立，进而得其单调性；（2）方程等价于，令，对其进行二次求导可得，（其中满足），令，根据单调性可得，结合的范围可得结论.【详解】（1）的定义域为，当时，令，则，，即，当时，，所以在上单调递增（2），，令，；则令，，则当时，，所以在上单调递减.，使得令，则在上为增函数，即当时，方程在上无解．【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，导数在方程根中的应用，二次求导以及利用分离参数的思想解决方程根的问题是最大的难点，综合性较强.