2018年秋七年级数学上册浙教版习题：小专题

2018年秋七年级数学上册浙教版习题：小专题第PAGE页小专题(一)　有理数的混合运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．计算：(1)(－8)－(＋3)＋(－6)－(－17)；解：原式＝－8－3－6＋17＝0.(2)－1.3＋4.5－5.7＋3.5；解：原式＝(－1.3－5.7)＋(4.5＋3.5)＝1.(3)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(4)eq\f(3,4)－eq\f(7,2)＋(－eq\f(1,6))－(－eq\f(2,3))－1；解：原式＝eq\f(3,4)－eq\f(7,2)－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)－1＝－eq\f(13,4).(5)1eq\f(1,3)＋(－eq\f(2,5))＋eq\f(4,15)＋(－eq\f(4,3))＋(－eq\f(1,5))．解：原式＝[1eq\f(1,3)＋(－eq\f(4,3))]＋[(－eq\f(2,5))＋(－eq\f(1,5))]＋eq\f(4,15)＝0＋(－eq\f(3,5))＋eq\f(4,15)＝－eq\f(1,3).2．计算：(1)23÷eq\f(1,2)×4；解：原式＝23×2×4＝184.(2)(－eq\f(1,2))3×82；解：原式＝－eq\f(1,8)×64＝－8.(3)(－3)×(－eq\f(5,6))÷(－1eq\f(1,4))；解：原式＝－3×eq\f(5,6)÷eq\f(5,4)＝－3×eq\f(5,6)×eq\f(4,5)＝－2.(4)18－6÷(－2)×(－eq\f(1,3));解：原式＝18－6×(－eq\f(1,2))×(－eq\f(1,3))＝18－1＝17.(5)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)．解：原式＝2＋4－4－3＝－1.3．计算：(1)－14－2×(－3)2÷(－eq\f(1,6))；解：原式＝－1＋2×9×6＝－1＋108＝107.(2)(－2)2×7－(－3)×6－|－5|；解：原式＝4×7＋18－5＝28＋18－5＝41.(3)8－23÷(－4)×(－7＋5)；解：原式＝8－8÷4×2＝8－4＝4.(4)－32＋5×(－eq\f(8,5))－(－4)2÷(－8)；解：原式＝－9－8＋2＝－17＋2＝－15.(5)(－eq\f(4,3))÷eq\f(2,9)－16÷[(－2)3＋4]；解：原式＝－eq\f(4,3)×eq\f(9,2)－16÷(－4)＝－6＋4＝－2.(6)(－1)3×(－12)÷[(－4)2＋2×(－5)]．解：原式＝12÷(16－10)＝12÷6＝2.4．计算：(1)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]；解：原式＝16×(－2)÷(－8＋4)＝－32÷(－4)＝8.(2)－14×23÷(eq\f(4,9))2×(－eq\f(4,3))4；解：原式＝－1×8÷eq\f(16,81)×eq\f(256,81)＝－8×eq\f(81,16)×eq\f(256,81)＝－128.(3)－14－(1－0.5)×eq\f(1,3)×[2－(－3)2]；解：原式＝－1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×(2－9)＝－1＋eq\f(7,6)＝eq\f(1,6).(4)4×(－eq\f(1,2)－eq\f(3,4)＋2.5)×3－|－6|.解：原式＝－6－9＋30－6＝9.小专题(二)　有理数的简便运算　　　　　　　　　　　　　　　　　1．计算：(1)16＋(－25)＋24－35；解：原式＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20.(2)3eq\f(1,4)＋(－2eq\f(3,5))＋5eq\f(3,4)－8eq\f(2,5)；解：原式＝(3eq\f(1,4)＋5eq\f(3,4))－(2eq\f(3,5)＋8eq\f(2,5))＝9－11＝－2.(3)6eq\f(1,3)＋(－4.6)＋(－eq\f(2,5))－2.3－(－eq\f(2,3))；解：原式＝(6eq\f(1,3)＋eq\f(2,3))－(4.6＋0.4＋2.3)＝7－7.3＝－0.3.(4)12eq\f(1,4)－(＋1.75)－(－5eq\f(1,2))＋(－7.25)－(－2eq\f(3,4))－2.5.解：原式＝(12eq\f(1,4)＋2eq\f(3,4))＋(5eq\f(1,2)－2.5)－(1.75＋7．25)＝15＋3－9＝9.2．计算：(1)(－3)×(－eq\f(7,5))×(－eq\f(1,3))×eq\f(4,7)；解：原式＝－(3×eq\f(1,3))×(eq\f(7,5)×eq\f(4,7))＝－eq\f(4,5).(2)(－2.5)×0.37×1.25×(－4)×(－8)；解：原式＝－(2.5×4)×(8×1.25)×0.37＝－10×10×0.37＝－37.(3)(－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,12))×(－24)；解：原式＝eq\f(1,4)×24－eq\f(1,3)×24＋eq\f(5,12)×24＝6－8＋10＝8.(4)－eq\f(4,7)×3.59－eq\f(4,7)×2.41＋eq\f(4,7)×(－3)；解：原式＝－eq\f(4,7)×(3.59＋2.41＋3)＝－eq\f(4,7)×9＝－eq\f(36,7).(5)19eq\f(13,14)×(－11)；解：原式＝(20－eq\f(1,14))×(－11)＝20×(－11)＋eq\f(1,14)×11＝－220＋eq\f(11,14)＝－219eq\f(3,14).(6)(eq\f(1,2)×eq\f(3,2))×(eq\f(2,3)×eq\f(4,3))×(eq\f(3,4)×eq\f(5,4))×…×(eq\f(2016,2017)×eq\f(2018,2017))×(eq\f(2017,2018)×eq\f(2019,2018))．解：原式＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2,3)×eq\f(4,3)×eq\f(3,4)×eq\f(5,4)×…×eq\f(2016,2017)×eq\f(2018,2017)×eq\f(2017,2018)×eq\f(2019,2018)＝eq\f(1,2)×(eq\f(3,2)×eq\f(2,3))×(eq\f(4,3)×eq\f(3,4))×(eq\f(5,4)×eq\f(4,5))×…×(eq\f(2018,2017)×eq\f(2017,2018))×eq\f(2019,2018)＝eq\f(1,2)×eq\f(2019,2018)＝eq\f(2019,4036)小专题(三)　规律探索　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为(C)A．135B．170C．209D．2522．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2016个单项式是(D)A．4031x2015B．4030x2016C．4029x2015D．4031x20163．(台州期中)观察下列图形：按照这样的规律，第n个图形有多少个★(B)A．3n－1B．3n＋1C．3n＋4D．4n＋34．(杭州经济开发区期末)一组数据为：1，2，5，10，17，26，…，观察其规律推断第7个数据为37，第n个数据应为(n－1)2＋1．5．(绍兴校级期中)将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置是有理数4，“峰2”中峰顶的位置是有理数－9，那么，“峰6”中峰顶的位置是有理数－29，－2017应排在A、B、C、D、E中A的位置．6．(瑞安期中)观察下列各式：eq\r(1＋\f(1,3))＝2eq\r(\f(1,3))，eq\r(2＋\f(1,4))＝3eq\r(\f(1,4))，eq\r(3＋\f(1,5))＝4eq\r(\f(1,5))，…，请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来eq\r(n＋\f(1,n＋2))＝(n＋1)eq\r(\f(1,n＋2))(n≥1)．7．下面的一列图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的．在第5个图形中，正方形的个数为28，在第n个图形中，正方形的个数为5n＋3．8．如图，按这种规律堆放圆木，第n堆应有圆木eq\f(n（n＋1）,2)根．9．(桐乡期中)用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：(1)当黑砖n＝1时，白砖有6块，当黑砖n＝2时，白砖有10块；(2)第n个图案中，白色地砖共(4n＋2)块；(3)第几个图形有2018块白色地砖？请说明理由．解：∵4n＋2＝2018，解得n＝504.所以第504个图形有2018块白色地砖．小专题(四)　一元一次方程的解法类型1　移项解一元一次方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．解下列方程：(1)5x－7x＝16×eq\f(1,2)＋2；解：－2x＝10，x＝－5.(2)eq\f(1,2)x＋x＋2x＝140；解：eq\f(7,2)x＝140，x＝40.(3)4－eq\f(3,5)m＝－m；解：－eq\f(3,5)m＋m＝－4，eq\f(2,5)m＝－4，m＝－10.(4)(滨江区期末)y－1＝2y＋3；解：y－2y＝3＋1，－y＝4，y＝－4.(5)56－8x＝11＋x.解：－8x－x＝11－56，－9x＝－45，x＝5.类型2　去括号解一元一次方程2．解下列方程：(1)4x－3(20－2x)＝10；解：4x－60＋6x＝10，10x＝70，x＝7.(2)3(2x＋5)＝2(4x＋3)－3；解：6x＋15＝8x＋6－3，－2x＝－12，x＝6.(3)4y－3(20－y)＝6y－7(9－y)；解：4y－60＋3y＝6y－63＋7y，－6y＝－3，y＝eq\f(1,2).(4)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3)．解：3x－7x＋7＝3－2x－6，－2x＝－10，x＝5.类型3　去分母解一元一次方程3．解下列方程：(1)eq\f(10,7)x－eq\f(17－20x,3)＝1；解：30x－119＋140x＝21，170x＝140，x＝eq\f(14,17).(2)eq\f(2x－1,3)－eq\f(2x－3,4)＝1；解：4(2x－1)－3(2x－3)＝12，8x－4－6x＋9＝12，2x＝7，x＝eq\f(7,2).(3)eq\f(2（x＋3）,5)＝eq\f(3,2)x－eq\f(2（x－7）,3)；解：12(x＋3)＝45x－20(x－7)，12x＋36＝45x－20x＋140，－13x＝104，x＝－8.(4)eq\f(2x－1,3)－eq\f(10x＋1,6)＝eq\f(2x＋1,2)－1；解：2(2x－1)－(10x＋1)＝3(2x＋1)－6，4x－2－10x－1＝6x＋3－6，－12x＝0，x＝0.(5)eq\f(x＋4,5)－(x－5)＝eq\f(x＋3,3)－eq\f(x－2,2).解：6(x＋4)－30(x－5)＝10(x＋3)－15(x－2)，6x＋24－30x＋150＝10x＋30－15x＋30，－19x＝－114，x＝6.类型4　解分母中含有小数或含有百分数的一元一次方程4．解下列方程：(1)eq\f(0.1－2x,0.3)＝1＋eq\f(x,0.15)；解：eq\f(1－20x,3)＝1＋eq\f(100x,15)，5(1－20x)＝15＋100x，5－100x＝15＋100x，－200x＝10，x＝－0.05.(2)eq\f(2x,0.3)－eq\f(1.6－3x,0.6)＝eq\f(31x＋8,3).解：eq\f(20x,3)－eq\f(16－30x,6)＝eq\f(31x＋8,3)，40x－16＋30x＝62x＋16，8x＝32，x＝4.类型5　解含绝对值的一元一次方程5．解方程：3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－5＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－2,2)＋1.解：①当x≥0时，3x－5＝eq\f(x－2,2)＋1，6x－10＝x－2＋2，5x＝10，x＝2；②当x<0时，－3x－5＝eq\f(－x－2,2)＋1，－6x－10＝－x－2＋2，－5x＝10，x＝－2.综上：x＝2或x＝－2.类型6　一元一次方程的非常规解法6．解下列方程：(1)eq\f(11,9)x＋eq\f(2,7)＝eq\f(2,9)x－eq\f(5,7)；解：77x＋18＝14x－45，63x＝－63，x＝－1.(2)y－eq\f(y－1,2)＝2－eq\f(y＋2,5)；解：10y－5(y－1)＝20－2(y＋2)，10y－5y＋5＝20－2y－4，7y＝11，y＝eq\f(11,7).(3)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；解：278(x－3)＋926(x－3)－6216(x－3)＝0，－5012(x－3)＝0，x－3＝0，x＝3.(4)eq\f(3,2)[eq\f(2,3)(eq\f(x,4)－1)－2]－x＝2.解：eq\f(x,4)－1－3－x＝2，－eq\f(3,4)x＝6，x＝－8.小专题(五)　一元一次方程的应用1．某校组织学生种植芽苗菜，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一、初二、初三年级各种植多少盆？解：设初一年级种植x盆，依题意，得x＋(2x－3)＋(2x－3＋25)＝909.解得x＝178.∴2x－3＝353，2x－3＋25＝378.答：初一、初二、初三年级各种植178盆、353盆、378盆．2．在一次美化校园活动中，七年级(1)班分成两个小组，第一组21人打扫操场，第二组18人擦玻璃，后来根据工作需要，要使第一组人数是第二组人数的2倍，问应从第二组调多少人到第一组？解：设应从第二组调x人到第一组，根据题意，得x＋21＝2(18－x)．解得x＝5.答：应从第二组调5人到第一组．3．用长为10m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长方形的长，不用铁丝)，长方形的长比宽长1m，求长方形的面积．解：设宽为xm，则长为(x＋1)m.根据题意，得2x＋(x＋1)＝10.解得x＝3.所以x＋1＝4.故长方形的面积为3×4＝12(m2)．答：长方形的面积为12m2.4．如图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径是10厘米的“痩长”形圆柱，高变成了多少？解：设高变成了x厘米．根据题意，得π×102×9＝π×52×x.解得x＝36.答：高变成了36厘米．5．昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车分别同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．解：设乙车速度为x千米/时，甲车速度为(x＋20)千米/时，40分钟＝eq\f(2,3)小时．根据题意，得eq\f(2,3)(x＋x＋20)＝128.解得x＝86.则x＋20＝86＋20＝106.答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．6．一件工作，甲单独完成需7.5小时，乙单独完成需5小时，先由甲、乙两人合做1小时，再由乙单独完成剩余任务，共需多少小时完成任务？解：设共需要x小时完成任务．由题意，得(eq\f(1,7.5)＋eq\f(1,5))×1＋eq\f(x－1,5)＝1.解得x＝eq\f(13,3).答：共需eq\f(13,3)小时完成任务．7．(安徽中考)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．解：设共有x人．依题意，得8x－3＝7x＋4.解得x＝7.所以8x－3＝53(元)．答：共有7人，这个物品的价格是53元．8．某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克．第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？解：设进价为x元/千克，依题意，得180(1＋40%)x＋70×40%×(1＋40%)x－250x＝618，解得x＝15.70×15－70×15×1.4×0.4＝462(元)．答：商家打折卖出的该种剩余水果亏了462元．9．某年二年期储蓄的年利率为2.25%，所得利息需交纳20%的利息税，已知某储户到期后实得利息450元．问该储户存入本金多少元？解：设该储户存入本金x元．由题意，得2×2.25%x×(1－20%)＝450.解得x＝12500.答：该储户存入本金12500元．10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数．解：设原来十位上的数字为x，则个位上的数为x＋4.依题意，得10(x＋4)＋x＝2(10x＋x＋4)－12.解得x＝4.则x＋4＝4＋4＝8.答：原来的两位数是48.11．(诸暨期末)居民用电实行阶梯式递增电价，可以提高能源效率．诸暨市居民阶梯电价：第一档为年用电量在2700度及以下部分，每度0.53元；第二档为年用电量在2700～4800度，超出2700度的部分，每度0.58元；第三档为年用电量超出4800度，超出4800度的部分，每度0.83元．(1)若小明家2019年用电量为2000度，则他家2019年的电费为多少元？(2)若小明家2019年电费为2815元，则他家2019年用电量为多少度？解：(1)2000×0.53＝1060(元)．答：他家2019年的电费为1060元．(2)2700×0.53＋(4800－2700)×0.58＝2649<2815，所以小明家2019年用电量超出了4800度．设超出了x度，则0．83x＝2815－2649，解得x＝200.4800＋200＝5000(度)．答：他家2019年用电量为5000度．12．观察下列数表：第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826………………(1)第十行第三列是什么数？(2)如果某行四个数的和是1620，那么是哪四个数？这四个数在第几行？解：(1)前九行共36个偶数，即第九行第五列是72，则第10行第四列是74，第三列是76.(2)设这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为x＋2，x＋4，x＋6.根据题意，得x＋x＋2＋x＋4＋x＋6＝1620.解得x＝402.所以这四个数分别为402，404，406，408；这四个数在第51行．小专题(六)　与线段有关的计算　　　　　　　　　　　　　类型1　中点问题(整体思想)【例】　如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)若AC＝9cm，CB＝6cm，则线段MN的长为eq\f(15,2)cm；(2)若AC＝acm，CB＝bcm，则线段MN的长为eq\f(a＋b,2)cm；(3)若AB＝mcm，求线段MN的长度；(4)若点C为线段AB上任意一点，且AB＝ncm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．解：(3)因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因为MN＝MC＋CN，所以MN＝eq\f(1,2)AC＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)(AC＋BC)＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.(4)猜想：MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(n,2)cm.结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝eq\f(1,2)AB.【变式1】　若MN＝kcm，求线段AB的长．解：因为点M是AC的中点，所以CM＝eq\f(1,2)AC.因为点N是BC的中点，所以CN＝eq\f(1,2)BC.所以MN＝CM＋CN＝eq\f(1,2)AC＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)(AC＋BC)＝eq\f(1,2)AB.所以AB＝2MN＝2kcm.【变式2】　若将 例题 求函数的导数例题eva经济增加值例题计算双重否定句的例题20道及答案立体几何例题及答案解析切平面方程例题 中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”，其他条件不变，(3)中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．解：MN＝eq\f(m,2)cm成立．当点C在线段AB的延长线上时，如图．因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因为MN＝MC－CN，所以MN＝eq\f(1,2)AC－eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)(AC－BC)＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.如图，只要点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点，那么MN＝eq\f(1,2)AB.图1图2图31．如图，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点，若AB＝8cm，AC＝3.2cm，则线段MN的长为2.4cm.2．如图，已知点C、D为线段AB上顺次两点，M、N分别是AC、BD的中点．(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；(2)若AB＝a，CD＝b，请用含a、b的式子表示出MN的长．解：(1)因为AB＝24，CD＝10，所以AC＋DB＝14.因为M、N分别为AC、BD的中点，所以CM＝eq\f(1,2)AC，DN＝eq\f(1,2)BD.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)(AC＋DB)＝7.所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.(2)因为AB＝a，CD＝b，所以AC＋DB＝a－b.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)(AC＋DB)＝eq\f(1,2)(a－b)．所以MN＝MC＋DN＋CD＝eq\f(1,2)(a－b)＋b＝eq\f(1,2)(a＋b)．类型2　直接计算3．如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：(1)延长线段AB到点C，使BC＝2AB，取AC中点D；(2)在(1)的条件下，如果AB＝4，求线段BD的长度．解：(1)图略．(2)∵BC＝2AB，AB＝4，∴BC＝8.∴AC＝AB＋BC＝8＋4＝12.∵D为AC中点，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝6.∴BD＝AD－AB＝6－4＝2.类型3　方程思想4．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(1,4)CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm.∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝1.5xcm，CF＝eq\f(1,2)CD＝2xcm.∴EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5xcm.∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得x＝4.∴AB＝12cm，CD＝16cm.5．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB＝18cm，求线段MN的长．解：设AC、CD、DB的长分别为xcm、2xcm、3xcm.∵AC＋CD＋DB＝AB，∴x＋2x＋3x＝18.解得x＝3.∴AC＝3cm，CD＝6cm，DB＝9cm.∵M、N分别为AC、DB的中点，∴MC＝1.5cm，DN＝4.5cm.∴MN＝MC＋CD＋DN＝1.5＋6＋4.5＝12(cm)．类型4　分类讨论思想6．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．(1)出发多少秒后，PB＝2AM；(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值；(3)当P在线段AB上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN＋PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．解：(1)设出发x秒后，PB＝2AM，当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，由题意，得24－2x＝2x，解得x＝6.当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，由题意，得2x－24＝2x，方程无解．综上可得：出发6秒后，PB＝2AM.(2)∵AM＝x，BM＝24－x，PB＝24－2x，∴2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24.(3)选①.当点P在点B左边时，如图．∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝24－2x，PN＝eq\f(1,2)PB＝12－x，∴MN＝PM＋PN＝x＋(12－x)＝12(定值)．小专题(七)　与角度有关的计算类型1　角平分线的有关计算(整体思想)【例】　如图，已知∠AOB内部有三条射线OE、OC、OF，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝45°；(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝eq\f(α＋β,2)；(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由．解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ，理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.【变式1】　若∠EOF＝γ，求∠AOB的度数．解：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq\f(1,2)∠AOB.因为∠EOF＝γ，所以∠AOB＝2γ.【变式2】　若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由．解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ成立，如图所示．理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOC－∠BOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.如图，当射线OC在∠AOB的内部或外部(0°＜∠AOC≤180°)，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC时，总有∠EOF＝eq\f(1,2)∠AOB.图1　　　　　　　　　图21．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠COE与∠COF的数量关系是互余．2．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；(3)从(1)、(2)的结果，你能看出什么规律吗？解：(2)因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC，∠DOF＝eq\f(1,2)∠BOD.因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠FOD＝eq\f(1,2)∠AOC＋∠COD＋eq\f(1,2)∠BOD＝eq\f(1,2)(∠AOC＋∠COD＋∠BOD)＋eq\f(1,2)∠COD＝eq\f(1,2)∠AOB＋eq\f(1,2)∠COD，又因为∠AOB＝α，∠COD＝β，所以∠EOF＝eq\f(1,2)α＋eq\f(1,2)β＝eq\f(1,2)(α＋β)．(3)若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，则∠EOF＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠COD)．类型2　方程思想3．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°.∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝3x°.∴2x＋3x＋3x＋20＝180.解得x＝20.∴∠BOC＝3×20°＝60°.4．如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线，射线OE在∠BOC内．(1)图中有多少个小于180°的角？(2)若∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝108°，求∠COE的度数．解：(1)图中小于180°的角有∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB、∠EOB，共9个．(2)设∠BOE＝x，∵∠COE＝2∠BOE，∴∠COE＝2x.∴∠AOC＝180°－3x.∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(180°－3x)．∵∠COD＋∠COE＝∠DOE＝108°，∴eq\f(1,2)(180°－3x)＋2x＝108°，∴x＝36°.∴∠COE＝72°.类型3　分类讨论思想5．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程：题目：在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画图．∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°.如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法．解：小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：①如图1，∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°；②如图2，∠AOC＝∠BOA＋∠BOC＝75°＋22°＝97°.综上所述：∠AOC的度数为53°或97°.6．如图，OC是∠AOB的平分线.(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)解：(1)∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB.∵∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°.(2)如图1，∠AOE＝∠COE＋∠COA＝90°＋30°＝120°.如图2，∠AOE＝∠COE－∠COA＝90°－30°＝60°.(3)90°＋eq\f(α,2)或90°－eq\f(α,2).