弹性力学解题方法问题优秀

第五章弹性理论的解题方法本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法目录5.1弹性力学基本方程5.2问题的提法5.3弹性力学问题的基本解法5.4圣维南局部影响原理5.5叠加原理?总结弹性力学基本理论；?讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。5.1弹性力学基本方程1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程000yxxzxxxyyzyyyzzzzfxyzfxyzfxyz???????????????????????????????????????,0ijijf???张量表示：2.几何方程：弹性体要满足的基本方程111222,,,()()()xyzxyyzzxuvwxyzvuwvuwxyyzzx?????????????????????????????????,,1()2ijijjiuu???张量表示：3.本构方程：弹性体要满足的基本方程广义胡克定律的应力表示2221[(1)]1[(1)]1[(1)]xxyyzzxyyzzxxyyzzxGGGEEE?????????????????????????????????32ijijmijGE???????张量表示：广义胡克定律的应变表示222222xxxxyxyyyyyzyzzzzzxzxGGGGGG???????????????????????????2ijijijG???????张量表示：4.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。0,,,,????ljkikiljijklklij????zyzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx????????????????????????????????????222222222222222zxyxzyyxzyxzzyxyzxyzxyzxyzxyxzyzxyzzxxy??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????222222基本方程：平衡微分方程几何方程本构方程变形协调方程（应变作为基本未知量）?若物体表面的位移已知，则位移边界条件为wvu,,wwvvuu???,,niijjTn???物体表面的面力分量为Tx、Ty和Tz已知,则面力边界条件为：xxxyxzyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn??????????????????5.边界条件?若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件5.2弹性力学问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。?第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边界条件。第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。基本解法（1）位移解法：以位移函数作为基本未知量（2）应力解法以应力函数作为基本未知量（3）混合解法以部分位移和部分应力分量作为基本未知量5.3弹性力学问题基本解法位移解法的主要步骤：?利用位移函数u1,u2,u3表示其他未知量；?推导由位移函数ui描述的基本方程；?关键点：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程1.平衡微分方程2.几何方程3.本构方程4.位移边界条件，力边界条件2(2)ijijijG???????,,,2()(1)ijijjikkkkuuu???????由上式称为应力位移表达式。,,,()ijijjikkijGuuu??????将(1)代入(2)此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）将应力位移表达式代入平衡方程,0jijif???转换指标,,,()0jijijjkkjijiGuuuf??????注意到：,,,,,,jijjjiijjjikkjkkiuuuuu???????则,,()0ijjjjiiGuGuf?????,,,()0ijijiikkiijjGuuuf??????即,,,,[()]0ijjikkijjiGuuuf??????得2222,222123()()()()jjxxx???????????注意,,,(),jjijjiiuu???2(),0iiiGuGf???????有给定位移边界条件就可由Leme方程解出ui=（u,v,w）或ui=（u1,u2,u3）。ui=ui（x，y,z）ˉ其位移边界条件为：对于用面力表示的边界条件Ti=σijnj此式称为力位移边界条件。注意：,123123niiiiijjuuuuunnnnxxx????????????则,niijijiuTGGunn???????将应力位移表达式代入面力边界条件:,,[()]iijjiijjTGuun??????有为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。对于Leme方程2(),0iiiGuGf???????齐次方程2(),0iiGuG??????对求导ix2,(),0iiiiGuG??????22,,,,,()()iiiiiiiiiiuuu??????因(2),0iiG????则或即,0ii??20???因3K???所以有20???即体积应力满足调和方程。?2222222Laplacexyz??????????其中：为调和算子或算子结论20???即体积应变满足调和方程。?对Leme方程进行?2（调和算子）运算：2(),0iiGuG??????有222(),0iiGuG????????（）（）2220,,0ii（）（）??????????2240iiGuGu（）?????所以即40iu??这说明应力与应变满足双调和方程。444,,1[(()]2ijijjiuu??????）有即40ij???由2ijijijG???????4442()()ijijijG??????????有及20???40ij???即由,,1()2ijijjiuu???结论：对于Leme方程2(),0iiiGuGf???????2(),0iiiGuG??????其齐次方程有222444000000miijiju?????????????????即位移分量求解后，可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力。ij?ij?总之，位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这六个方程可以求解出六个应力分量。例设有半空间体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在处方向的位移受均布压力作用的半空间体解：可以假设??zwwvu???,0,0因此体积应变?qhz?z0?w按位移解题例题dzdwzwyvxuzyx?????????????????对于Leme方程2(),0iiiGuGf???????(,,)()iuuvwwz??2222222222()idwuwzwxyzdz???????????????????22,,()iidwdwdzdzq==或??gGGgdzwd????????????1221222积分上式??BAzgzGw??????21421?????0222???gdzwdG??有将22222,iidwdwudzdz????2(),0iiiGuGf???????代入拉梅方程：在边界上，1230,1,0,lmnTTTq===-===得qdzdwGdzdwz??????????02???qGA??????1221结合的表达式可得w代入由位移表示的边界条件,niijijiuTGGunn???????????214211221ghGqhGB???????????由条件得??0??hzw将常数和代入的表达式，得ABw????????002142122????????vuzhqzhgGw???求应变()[]1221zzgqGmerm-=---由广义胡克定律222222xxxxyxyyyyyzyzzzzzxzxGGGGGG???????????????????????????()[]1221zzgqGmqerm-==---(2)xzyzzzG?????????????有即????01???????????zxyzxyzyxgzqgzq??????????2(),0iiiGuGf???????位移法其位移边界条件为：(,,)(,,)iiuxyzuxyz?给定位移边界条件就可由Leme方程解出。iu(,,)iuxyz?复习:位移法位移分量求解后，可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力。ij?ij?位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。位移解法适用于位移边界条件。对于位移法体力为常量时：由位移法得到：体积应力和体积应变均满足调和（Laplace)方程；Qq2200q裃=?即体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量,应力分量和应变分量均满足双调和方程；222222000iijijuse蜒=蜒=蜒=位移分量,应力分量和应变分量为双调和函数。解：由几何方程求应变分量已知,求应力21(1)0upxvwpzEE?????????21(1)0000xyzxyyzzxuvwppxEyzE???????????????????????????位移法例题2lxypphh1yz由2ijijijG???????2lxypp21(1)(1)(21)xyzppEEpE????????????????????21122xxGGpppEE????????????????yp????00zxyyzzx????????1212:()(1)0xxyxyxyyxlTllppTll???????????????1212:()(1)0xxyxyxyyxlTllppTll???????????????力边界条件y=+h:v=0_位移边界条件应力应满足边界条件2lxyppxl?xl??y=+hy=-h应力解法基本步骤：以应力分量σij作为基本未知量；用六个应力分量表示协调方程；关键点：以应力表示的协调方程应力解法的方程1.平衡微分方程2.变形协调方程3.本构方程4.面力边界条件zyzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx????????????????????????????????????222222222222222zxyxzyyxzyxzzyxyzxyzxyzxyzxyxzyzxyzzxxy??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????222222由应力表示的本构方程代入协调方程0,,,,????ljkikiljijklklij??????11ijijE????????????ijijG???（1）整理上面的方程，把其中l的指标取为k，,,,,,,,,()1ijklklijljkikiljijijklklljkikilj??????????????????????,,,,,,,,()1ijkkkkijkjkikikjijijkkkkkjkikikj??????????????????????,,,,,,,,()1ijkkkkijkjkikikjijijkkkkkjkikikj??????????????????????（2）把k=1,2,3的叠加起来，运用3kkkk?????,,,,,,,,,,(3)111ijijkkkjkikikjijijjiijkkijijkk??????????????????????????????,,,,,,11ijijkkkjkikikjijijkk??????????????????即,,,,,111ijijijkkkjkikikjkk???????????????合并有上式对指标i和j对称所以只含有六个独立方程，利用平衡方程有,,0ijjiijjiff??????即22,,,111ijijijjkkiikkj?????????????????,,,,()()ikkjikkjijf??????,,,,()()jkkijkkijif??????同理,,,,,111ijkkijjkkiikkjijkk???????????????改写成上两式代入协调方程中有22,,,1()11ijijijijjiff????????????????把上式中i=j的3个方程叠加起来，注意到σii=Θ,Θ,ii=?2Θ和δii=3可得2222,,1321111iiiiff即???????????????????????222,10100iiiff???????????????当时有则对于应力法2,101ijij则???????22,,,1()11ijijijijjiff????????????????对上式作双调和运算有42,101ijij????????42,101ijij????????224,000ijij则??????????由2ijijijG???????4442()()ijijijG??????????有及20???444000ijij则?????????上式称为Michell方程(用应力表示的协调方程)2,,,,1()11ijijijkkijjifff??????????????将上式回代到协调方程2,11iif????????22,,,1()11ijijijijjiff????????????????中有2,,,,(1)(1)(1)()(1)ijijijkkijjifff??????????????????还可以写成Michell方程2,,,,1()11ijijijkkijjifff??????????????2,,,,,,,,,(1)(1)(1)()1(1)[2(1)]1(1)[(2)]1xxxkkxxxxkkxxxxyyzzffffffff???????????????????????????????????????对于上式当时有jix??2,,,,(1)(1)(1)()(1)ijijijkkijjifff??????????????????2,,,,(1)(1)[(2)]1yyyyyxxzzfff??????????????????同理对于上式当时分别有jiy??,jiz??2,,,,(1)(1)[(2)]1zzzzzxxyyfff??????????????????对于上式当时有ij?2,,,(1)(1)()ijijijjiff???????????即2,,,(1)(1)()xyxyxyyxff???????????2,,,(1)(1)()yzyzyzzyff???????????2,,,(1)(1)()zxzxzxxzff???????????2,,,,(1)(1)(1)()(1)ijijijkkijjifff??????????????????展开Michell方程2,,,,(1)(1)(1)()(1)ijijijkkijjifff??????????????????2,,,,2,,,,2,,,,2,,,2,,(1)(1)[(2)]1(1)(1)[(2)]1(1)(1)[(2)]1(1)(1)()(1)(1)(xxxxxyyzzyyyyyxxzzzzzzzxxyyxyxyxyyxyzyzyffffffffffff???????????????????????????????????????????????????????????????????????????,2,,,)(1)(1)()zzyzxzxzxxzfff????????????体力为常数时，右端项为零，故有2,(1)0ijij???????上方程称为Beltremi方程。当满足面力边界条件时即得到问题的解答。2,,,,(1)(1)()ijijijkkijjifff??????????????解上面的方程，或下面的Michell方程2200??????应力法体力为零时444000ijij??????????应力解法的基本未知量为6个应力分量，可以避开几何方程；?基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程和3个边界条件，对于几何形状或载荷较复杂问题的求解困难。?应力解法适用于面力边界条件与单连体。?总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的面力边界条件下，求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组。混合解法根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。弹性理论解的惟一性定理弹性体受已知外力的作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是惟一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。局部影响原理：?物体在任意一个小部分作用有一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。5.4圣维南原理P2P2PPPPP圣维南原理图示解的叠加原理：小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。5.5叠加原理逆解法根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数(或位移函数)。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将存在什么样的位移。半逆解法对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。逆解法和半逆解法其求解过程带有“试算”的性质；偏微分方程边值问题求解困难，难以确定弹性力学问题的解析解；解：用半逆解法。设除外所有应力分量为零，即xs(,,)00xxyzxyyzzxxyz?????????????xyzx?????????0if?M求应力分量逆解法例题oxzhhozyhbb代入应力协调方程中2,,,,1()11ijijijkkijjifff??????????????2,1()01ijxij???????有则有(,)xxyz???展开22222000xxxyzyz?????????????积分上式的第一式12()()xyfzfz???将上式代入中得20xyz?????1110()dffzcdz即??12()()xyfzfz???在将代入中得220xz????2222320()dffzczcdz即???所以有123xcyczc????式中由边界条件确定。123ccc123xcyczc????代入上式30c?有0zxAMydA?????边界条件2：有10c?yxAMzdAM?????边界条件3：有2ZyMcI?0xxATdA?????边界条件1：hozyhbb0zxyyzxyyzzxMI该问题的应力分量为????????????hozyhbb12300zxyzxyyMcccIMIIy代入中得式中为杆截面对轴的惯性矩。?????