建立空间直角坐标系,解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求.面角、证明平行关系和垂直关系等.常用公式：AB1、求线段的长度：AB222222xyzX2X1y2y1化乙2、求P点到平面的距离::PN|PMn|,（N为垂足，M为斜足，n为平面的法向量）|n|,.,|PMn|3、求直线I与平面所成的角：|sinI，（PMl,M小为的法向量）|PM||n||ABcD|4、求两异面直线AB与CD的夹角：COS|AB||CD|dr|nin21—一5、求二面角的平面角：|cos|，（n1，n2为二面角的两个面的法向量）|ni||压|S射影6、求二面角的平面角：COS，（射影面积法）S7、求法向量：①找；②求：设a,b为平面内的任意两个向量，n（x,y,1）为的法向量，an0则由方程组「-，可求得法向量n.bn0 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、垂直、角、距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1.（2002年全国高考题）如图，正方形ABCDABEF的边长都是1，而且平面ABCDABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN（a0a42）。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNAf面MNB^成二面角a的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=aM（丄2a，0，1—a）,N（—2a，—2a，0）2222二MN=（0，亍，予DMN(2a1)2f2a)222(a-^2)21(0a#2)22(2)由(1)MN(a2)2122所以，当a=2时,2MNTOC\o"1-5"\h\z即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为-2（3）取MN的中点P,连结AP、BP,因为AM=ANBM=BN所以APIMNBP!MN/APB艮卩为二面角a的平面角。1111MN的长最小时M（—，0，）,N（—，-，0）222211由中点坐标公式P(-,-24-丄),4pa=G，1),又A(1,0,4120),B(0,0,0)PB=(-cos13-3例2.(1991年全国高考题)如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GCL面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系由题意C(0,0,0),G(0,0,2),•••面MNA与面MN斷成二面角a的大小为n-arccosC-xyz,E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0)•••GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0)设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则n丄GE,n丄GF,2x得4x4y2y2z2z令z=1,即n=(1x=-313，1,S'1),GC在n方向上的射影的长度为d=BE=2.1111例3.(2000年二省一市高考题)在直三棱柱ABC-A1B1C中CA=CB=1/BCA=90,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、AA的中点。(1)解:N(1,0,求BN的长；(2)求cosBA，CB1;(3)求证：AB丄GM建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,贝UC(0,0,0),B(0,1,0),111),A1(1,0,2),B(0,1,2),C(0,0,2),M(-,-,2)22(1)BN=(1,-1,1),故(2)cb!==(0,1,2),BA二cosBa,CB；=BA?BN=V3；=(1,-1,2)BA1CB1cb1、6•、510(3)砂=(-1,1,-2),——11c1M=(2，2，0)A1B?C1M=-1X!+1X1+(-2)X0=02AiB丄GM、利用图形中的对称关系建系。有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。例4.（2001年二省一市高考题）如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心0为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//ABE为VC的中点,高OV为h(1)求cosBE,DE;（2）记面BCV为a,面DVC为B，若/BED是二面角a-VC-B的平面角，求/BED解：（1）由题意D(-a,-a,0),•••BE=(-3a,2a3aDE=(；,，22B(a,a,E('I，，殳)，0),ah、22cosBE,DE2h)2BEDEBEDE5a23a23a2h2Th25a24'、2h246a210a2hh22~a,0)(2):V(0,0,h),C(-a,--VC=(-a,a,-h)又/BED是二面角a-VC-B的平面角•••BE丄VC,DE丄VC即BE•VC=笑2.2.2h2h小=a-=0,222h2a=2代入cosBE,DE6a2h2=122~—10ah31即/BEDn-arccos-3三、利用面面垂直的性质建系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。例5.(2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC-ABC的底面边长为a,侧棱长为2a。建立适当的坐标系，并写出A、B、A、C的坐标；求AC1与侧面ABB1A1所成的角。解：(1)如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA所在直线为z轴，以经过原点且与ABBA垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得：A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,血a),C(-^a,-a,V2a)22o(2)取AiBi的中点M于是有M(0,—,T2a),连AM、MC有2MC1=(-a,0,0),且AB=(0,a,0),AA1=(0,0,V2a)由于MG•AB=0,MC1•AA1=0,故MC丄平面ABBiAi0•••ACi与AM所成的角就是AC与侧面ABBA所成的角。AC；=(V3(a,a,a/2a),AM=(0,a,运a)222ACi-AM=0+2a+2a2=9a2J44ACi12=3a2a2a2=3a,\44fa23aAM=』一2a=一V429a2•••cosAC1,AM=—4=213a3a22•••AC1与AM所成的角，即AC与侧面ABBAi所成的角为30°。例6.（2002年上海高考题）如图，三棱柱OAB-OAiBi，平面OBEO丄平面OAB/OOB=60/AOB=90且OB=002,OA=3。求：（1）二面角O-AB-O的大小；（2）异面直线AiB与AOi所成角的大小。（结果用反三角函数值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）解：（I）如图，取OB的中点D,连接0D,贝UOD丄OB•••平面OBEO丄平面OAB•••OiD丄面OAB过D作AB的垂线,垂足为E,连结OE,则OE丄OB/DEO为二面角O-AB-O的平面角由题设得od=V3sin/OBA=OA二日JOA2OB2721•••DE=DBsin/OBAl7■/在Rt△ODE中，tan/DEO=J7•••/DEO=arctanJ7，即二面角O-AB-O的大小为arctan翻。(2)以O为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O(0,0,0),O(0,1,73),A(屈,0,0),A1(V3,1,V3),B(0,2,0),则AB=(-託,1,-73),OX=(託,-1,-月)cos〈AB,01A〉=AiB01AA1BO1A313_1•77=-?故异面直线AB与AO1所成角的大小1arccos—。7姓名：张传法地址：山东临沂市罗庄区一中(276017)E-mail:(注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期)