压轴大题突破练1．函数与导数1.设函数f(x)=xlnx+ax,a^R.⑴当a=1时，求曲线y=fx)在点(1,f(1))处的切线方程；⑵求函数y=f(x)在［右e上的最小值；⑶若g(x)=f(x)+2ax2-(2a+1)x,求证：a±0是函数y=g(x)在x£(1,2)时单调递增的充分不必要条件.解由fx)=xlnx+ax,得f(x)=lnx+a+1.当a=1时，f(x)=lnx+2,f(1)=1,f(1)=2,求得切线方程为y=2x-1.解令f(x)=0,得x=e-(a+1).・•.当e-a+DW1，即a±0时，x££e时f(x)20恒成立，fx)单调递增，ee此时f(x)min={3=专.当e-(a+D2e，即aW-2时，x£ee时f(x)W0恒成立，fx)单调递减，此时f(x).=f(e)min=ae+e.当-
0，fx)单调递增，此时f(x)min=f(e-(a+1))=-e-(a+1)-⑶证明g'(x)=f(x)+ax-(2a+1)=lnx+ax-a=lnx+a(x-1)，.:当a三0时，xW(1,2)时，lnx>0，a(x-1)^0，g'(x)>0恒成立，函数y=g(x)在xW(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a=-2时，代入g'(x)=lnx+a(x-1)=lnx-112x+2设h(x)=g(x)=lnx-2x+2,xW(1,2)，则h(x)=1-222^X>0恒成立,・•.当x£(1,2)时，h(x)单调递增.又h(1)=0,・•.当x£(1,2)时，h(x)>0恒成立.而h(x)=g'(x),・•.当x£(1,2)时，gz(x)>0恒成立，函数y=g(x)单调递增，・必要条件不成立.综上，a±0是函数y=g(x)在x£(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.设函数f(x)=ex—lx—al,其中a是实数.若fx)在R上单调递增，求实数a的取值范围；若函数有极大值点x2和极小值点X],且fx2)—f®三k(x2—X])恒成立，求实数k的取值范围.fex-x+a，x2a，解(1)因为f(x)=ex-lx-al=5[ex+x-a，x0恒成立，当x±a时，f(x)=ex-1^0恒成立，故应f(a)三0,即a三0.由(1)知当a±0时，fx)在R上单调递增，不符合题意，所以有a<0.此时，当x0,fx)单调递增，当x±a时，f(x)=ex-1，令f(x)=0，得x=0，所以f(x)<0在(a,0)上恒成立，fx)在(a,0)上单调递减，f(x)>0在(0,+上恒成立，fx)在(0,+s)上单调递增，所以fx)极大=f(a)=ea,fx)极小=f(0)=1+a，即a<0符合题意.极大极小由fx2)-fx)三k(x2-xj恒成立，可得ea-a-1三ka对任意a<0恒成立，设g(a)=ea-(k+1)a-1,求导，得gz⑷=ea-(k+1),当kW-1时，gz(a)>0恒成立，g(a)在(-I0)上单调递增，又因为g(-1)=1+kv0,e与g(a)>0矛盾；当Q0时，gz(a)<0在(-i,0)上恒成立,g(a)在(-^,0)上单调递减,又因为g(0)=0,所以此时g(a)20恒成立，符合题意；当-1vkv0时，gz(a)>0在(-a,0)上的解集为(ln(k+1),0),即g(a)在(:ln(k+1),0)上单调递增，又因为g(0)=0,所以g(ln(k+1))<0不符合题意.综上，实数k的取值范围为[0,+a).3.(2017・江苏泰兴中学质检)已知函数f(x)=3X3_mx2—x+3m，其中m^R.求函数y=f(x)的单调区间；若对任意的x1，x2£[—1,1],都有f(x1)—f(x2)IW4,求实数m的取值范围；求函数fx)的零点个数.解(1f(x)=x2-2mx-1,由f(x)三0,得xWm_*m2+1或x2m+\：m2+1；故函数fx)的单调增区间为(-8,m_\\m2+1),(m+勺m2+1,+8),由f(x)<0，得m_\1时，f(x)的最大值为f(-1)，最小值为f(1),由f(-1)-f(1)W4,即4mW4,解得mW1,舍去.综上,实数m的取值范围是[-1,1].由f(x)=0,得x2-2mx-1=0,因为A=4m2+4>0,所以y=fx)既有极大值也有极小值.设f(x0)=0,即x0-2mx0-1=0,x0=2mx0+1,m1-_+0x1212-3mx2-3x0+3m=_3x0(m2+1),所以极大值f(m-\'m2+1)=-3(m-\'m2+1)(m2+1)>0,极小值f(m+”Jm2+1)=-3(m+"\/m2+1)(m2+1)<0,故函数fx)有三个零点.4.已知函数f(x)=x3+ax2—a2x+2,a^R.若a<0,试求函数y=fx)的单调递减区间；若a=0,且曲线y=fx)在点A,B(A,B不重合)处切线的交点位于直线x=2上，证明:A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切X],x2，X3W[0,1]总存在以f(x1),fx2),fx3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围.⑴解函数fx)的导函数f(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)(x-z).a因为a<0,由f(x)<0，解得30,所以00,fx)单调递增.所以当x=a时，fx)有最小值f^)=-27a3+2.2^35一275一27①由①得a<3^;由②得a<2，再根据0vav2,茶353得0O,所以g(a)为增函数.又g(2)=-27
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