对两个重要极限的重要性的认识时间:2021.03.12创作：欧阳文摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识，总结有关两个重要极限的
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成果，指岀两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。关键词:重要极限；重要性；证明；应用绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想屮起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的
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已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代
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性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化，应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础，其重要性就不难理解了。试想，若没有它们，那么只要遇见微积分相关的计算题，必须用最基本的
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，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法，在学生的学习中，起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它恤沁的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极3X限这一准则的恰当应用。,・sinx‘lim=12.1第一个重要极限：5%证明：作单位圆，如图1：图10<<—设X为圆心角ZAOB,并设
1-2・二=1一二又因为421-—limcosx=1XT（）limcosx=lim1=1而z7二lim=1zx,证毕。2.2第二个重要极限:lim（1+丄）'=eITSX先考虑X取正整数时的情形：—（1+^）n产_c严对于b＞"＞0,有不等式：b_a<（n+\）bn即：厂-严v（n+10（b-d）,艮卩•a"">bn[（n+V）a-nb]°=1+丄上=1+丄（i）现令拜+1八,显然b＞a＞。,因为（n+l）a-nZ?=〃+1+1-（n+1）=1将其（1+丄）灯/?+1＞（1+丄）"｛（1+lf）«,所以“为单调数列，记作｛益｝。••11=>（7?+1）。一nb=7?+1-（77+—）=—22‘1＞（1+丄）〃•丄所以2“2=>2>（1+丄）"=>4>（1+—）2/rIn2/7即对％厲＜4,,V又对（i+—!—）2n+,<（i+—!—）2n+2<42n+12n+2（1+-）n所以｛〃｝是有界的。lim（1+丄）"由单调有界定理知-“存在，并使用^来表示,Um(l+丄)“=^=……即fn两个重要极限在微分学屮的重要性在函数的学习屮，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：①幕函数・(处尺),0指数函数Ko>o,gi),对数函数>TogZ(a>0,Xl),三角函数y二sinx,y二cosx,y=tanx,y=cotx,◎反三角函数y二arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx。由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念一一导数是建立在极限概念基础上的。即求£倉喩范/衣4)在点X处的导数，就是计算极限矿—(3.1)当这一极限存在时，其值就是。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限3.1,而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第芒純靠函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数总数和对数函数。对于第一类函数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要利用到出瞬个重要极限。对于第三类函数的求导，需lim(l+—)v=e要利用到1“T*Xlim(l+-)'=e这个极限。XT*X下面来看一看基本求导公式是如何得来的。3.1重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sinx的求导公式的推导为例.由导数的定j.^sinx其中应用了第一个重要极限出Xsin——・，v?VSint1lim—=lim=1At-*ozlrlof即TAx（令U）。求得（sin力'二cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。3.2重要极限在指数函数和幕函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数log^x的求导公式的推导过程。由导数定义其中应用了第二个重要极限i^（1+/=\即Ar—1蚪呱（i+丁）—!即+匚）一（令疋心=“）。求得了（】。获）'以后，指数函数和幕函数的求导公式就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程屮起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程屮要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程屮起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。两个重要极限在计算中的应用4.1两个重要极限在一元极限中的应用第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便得这一不定的结果，因此称这一类型的极限为型未定式。类似地，第二个重要极限是属于『型未定式。综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的型未定式和r型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。rlim=竺例1求z厂.2sin2-‘lim=lim..1—COSXxtolim；——解:sin2—[sin—2(尹心2x0tanx-suixlimlimtanv；SinYlim解："TU%二.Tsinx-sinxcosx1-cosxsmxcosx曲皿.血丄.limU込二zXZcosxzx-2.2Plim仆_二)”茨fx22解：令—X二t,则沪一t.当％时r0,22Ilim(1--ylim(l+/)7=llim(l+/)7]-2"T"xtocx二7》fTO4(j例4求宀2-x•z厂二3-x解：令2-x二l+s3—r十足YTX2-X二MTU当％时"0,TOC\o"1-5"\h\z、兀2■—、)_lim(l+M)“=lim[(l+«)M・(l+u)J—IITilIITO二MTU“TU二e—一plim(l+tan.r)E例5求」.1解：设t=tanx,贝ljt=cotx.当x0时r0,于是lim(l+tanx)couXTU4.2两个重要极限在二元函数极限中的应用vsinx的应用Inn4.2.1重要极限zxlim凹g=i极限"gf"（x,y）是一元函数第一个重要极限的推广，其中，（x,y）T（心）G时，心y）T°,把心y）看作新变量『，考虑极限过程・0。lim"吁+八例1求极限gim疋+*lim血（:'+厂）=应sin（宀+b解：gio・o>H+rgviM）疋+bx2+y2极限运算过程屮第一个等号是一个恒等变形。忙sin(x3+y3)我们设〉一宀b,定义域是D=｛g)|g)工(o,o)｝。再设疋+)，疋+)广定义域D=仗刃(忑刃丰(o,o)且y工显然有DeD。可以看到，从函数/(3)到g)定义域变小了，但/("),几3)分别在各自的定义域D与卩内，当(3)t(o,o)时，可以证明极限都是存在的，证明如下：y)=sinX+〉，3)(1)以下是对宀)'在定义域D=｛(x,y)|(x,y)工(0,0)｝内极限的证明。因为当3)工(0,0)时,有：lim空土2所以由夹逼准则得Um疋+r二o(2)对X+yA-+r在定义域D*=紅刃(矩刃丰@°)且＞‘丰球内极限的存在性,由极限的四则运算法则容易知道，并且其值易算得为0.f(.sin(x3+y3)既然一3在定义域D=g)3恥(0,0)｝内极限存在，那么极限必唯一。我们可以在D内任找&，y)T(o,o)的方式来计算出极限值。由D与D的关系(DeD),知道在9—D中两函数相等，所以在求极限找(x，y)T(0,0)的方式时，我们可以在DJPuD)中找，显然，两函数的极限是相等的。f(xyy)=sin(x3+y3)a2+ysin(x3+)J)x3+y3i”+y：r+y・但是，=i;msin(A'+y3)x3+y3(x.v)->(0.0>x3+y3x2+y2sin(x3+y3)(册03工*y2limf}(x,y)二gi®是成立的。所以在J"—©。)时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。lim沁例2求极限g"ylim沁=lim沁“lim沁limx=l-O=Oy(x.v)->(0.0)巧qtO(x.y)*U・O)在一元函数屮由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数屮得到：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法屮应用。lim沁例3求极限gl°5)mn(x+y)sinu(x,y)〜u(x,y);l—cosw(x,y)wU,y);ln[l+m(x,y)]〜u(x.y);tanw(x,y)sinxy£“3)_1〜M(X,y)lim'lim解:gKOtohtan(x+y)二gio5)兀+y—qliin—(宀J?例4求极限g)T<0・0>(jr+yJjryZ解:lim(x,y)-MO.O)l-cos(v2+)')(x2+y2)x2/lim二gyiO.O)1z•>23尹+〉"(x2+y2)x2y24.2.2重要极限lim（1+一1一极限心""（3）是一元函数屮第二个重要极限的推广。下面举例说明它的应用。14］（］|xAty例5求极限（3*」）x解:lim(1+(x.y)-Mx.l)X—lim(.v.y)-><«.!)d+-rXx+yx■a1lim—i—lim（1+—）'=e}=e对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法，比如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时还可以用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算屮几个常见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以便更好的解决二元函数的极限问题。5.总结关于两个重要极限的公式本身十分简单，但由它们上面却引岀许多的话题.关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想：在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时,用某个与自变量增量成比例的量（即微分），替代函数的增量,常常是简化并解决问题的办法.这就是微分学的基本思想，对于微积分，只有深入理解和掌握了这一思想，才会深刻理解和学习。著名日本科学家米山国藏指出：作为知识的数学，出校门不到年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究方法和着眼点等，这些都随时随地发生作用，使人们终身受益。这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识屮所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习屮要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识。时间：|创作：欧阳文
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