高中培优讲义定积分及其简单应用

第十三讲定积分及其简单应用教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b∫b②∫b∫b∫bakf(x)dx＝kaf(x)dx.a[f1(x)±f2(x)]dx＝af1(x)dx±af2(x)dx.③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx.(4)．定积分∫b[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？a提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ab，即∫abf(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．基础练习∫41)1.2xdx等于(A．2ln2B．－2ln2C．－ln2D．ln2解析：选D∫241dx＝lnx|24＝ln4－ln2＝ln2.x2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()17141311A.6B.3C.6D.6解析：选AS＝∫22－t＋2)dt＝13－12＋2t2171(t3t2t1＝6.3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．221328答案：8解析：∫0xdx＝x|0＝.3334．∫011－x2dx＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫1222在第一象限内部分的面积，所以01－xdx 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示单位圆x＋y＝1∫121101－xdx＝4π.答案：4π二、例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 辨析推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫22＋2x＋1)dx；π(3)∫21(x(2)∫0(sinx－cosx)dx；0x(x＋1)dx；(4)∫22x＋1dx；(5)22x1ex0sindx.2[解答](1)∫12(x2＋2x＋1)dx＝∫12x2dx＋∫122xdx＋∫121dx＝x3|12＋x2|12＋x|12＝19.33(2)∫ππ－∫π＝ππ0(sinx－cosx)dx＝∫0sinxdx0cosxdx－cosx)0－sinx|0＝2.(|(3)∫222222132122131×22－0＝14.0x(x＋1)dx＝∫0(x＋x)dx＝∫0xdx＋∫0xdx＝x|0＋x|0＝3×2－0＋2332(4)∫22x1dx＝∫22x2112x2214121412＋ln2.1e＋x1edx＋∫1xdx＝2e|1＋lnx|1＝e－2e＋ln2－ln1＝e－e222(5)22x20sin2dx＝0变式练习1．求下列定积分：22(1)∫0|x－1|dx；(2)0112－2cosxdx＝1－sin2xdx.201dx－2201cosxdx＝2x2012sinx20π1π－24－2＝4.1－x，x∈[0，1解：(1)|x－1|＝x－1，故∫02|x－1|dx＝∫01(1－x)dx＋∫12(x－1)dxx∈[1，2]x21x2－x211＝x－20＋2|1＝＋＝1.|22(2)21－sin2xdx＝2|sinx－cosx|dx＝4(cosx－sinx)dx＋2(sinx－cosx)dx0004＝(sinx＋cosx)04＋(－cosx－sinx)2＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.4例2、∫01－x2＋2xdx＝________.[解答]∫01－x2＋2xdx表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图ππ形为1个圆，其面积为.∴∫01－x2＋2xdx＝.444在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2xdx的值．解：∫20－x2＋2xdx表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以20－x2＋2xdx＝π2.变式练习2．(2013福·建模拟)已知函数f(x)＝∫0x(cost－sint)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝∫xπ2cosπxππ－tdt＝－t|＝2cos－x－2cos＝sinx＋cosx－1＝02sin440442sinx＋π－1≤2－1，当且仅当sinx＋π＝1时，等号成立．答案：2－144三、归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、(2012·山东 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 )由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()10B．4C.16A.33D．6[解答]由y＝x及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为∫42312416.[答案]C0(x－x＋2)dx＝x－x＋2x|0＝3322若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及32721221x2x轴所围成的封闭图形的面积为∫0f(x)dx＝∫0xdx＋∫1(－x＋2)dx＝3x2|0＋2x－2|1＝6.变式练习3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝1所围成的图形(阴影部分)4的面积为()2B.11D.1A.33C.241解析：选Dy＝4，?x＝11由22或x＝－2(舍)，所以阴影部分面积y＝x11221113113111S＝dx＋1－dx＝02＋2－x1x4x－x3x－x1＝.04243424定积分在物理中的应用例2、列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[解答]a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝∫050vdt＝∫050(20－0.4t)dt＝(20t－0.2t2)|050＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．变式练习4．一物体在力100≤x≤2F(x)相同的方向运动F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力3x＋4x>2了4米，力F(x)做功为()A．44JB．46JC．48JD．50J解析：选B力F(x)做功为∫0210dx＋∫24(3x＋4)dx＝10x|02＋3x2＋4x24＝20＋26＝46.2例3、(2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B1，5，C(1,0)．函2数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．[解析]由题意可得12110x，0≤x≤2，10x，0≤x≤2，f(x)＝所以y＝xf(x)＝2，1110－10x，20.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.3232344a222a222解析：由题意∫0xdx＝a.又3x2′＝x，即3x|0＝a，即3a＝a.所以a＝9.答案：9五、课后作业巩固提高∫e1＋lnx)1.1xdx＝(12x2－1C.31A．lnx＋lnB.2D.2e2解析：选C∫e1＋lnxdx＝lnx＋ln2xe31x21＝2.2．(2012湖·北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()2π43πA.5B.3C.2D.222∫12x314解析：选B由题中图象易知f(x)＝－x＋1，则所求面积为0(－x＋1)dx＝2－3＋x0＝3.x2，x∈[0，1]，则∫02f(x)dx＝()3．设f(x)＝x∈1，2]，2－x，345A.4B.5C.6D．不存在解析：选C如图．2122131122115∫0f(x)dx＝∫0xdx＋∫1(2－x)dx＝3x|0＋2x－2x|1＝3＋4－2－2＋2＝6.4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()160804020A.3mB.3mC.3mD.3m解析：选A2221032＝40×2－10×8＝160v＝40－10t＝0，t＝2，∫0(40－10t)dt＝40t－3t033(m)．|ππ5．(2013青·岛模拟)由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()13A.2B．1C.2D.3解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分3cosxdx＝3sinx3332－－2＝3.π6．设a＝∫0sinxdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．ππ解析：∵a＝∫0sinxdx＝(－cosx)|0＝2，∴y＝x·2x＋2x－2.∴y′＝2x＋x·2xln2＋2.∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln2.答案：4＋2ln27．在等比数列n中，首项a＝2，a＝∫45等于________．141{a}3(1＋2x)dx，则该数列的前5项之和S2531－3解析：a4＝∫14(1＋2x)dx＝(x＋x2)|14＝18，因为数列{an}是等比数列，故18＝2q3，解得q＝3，所以S5＝31－3242242＝3.答案：38．(2013孝·感模拟)已知a∈0，π，则当∫0a(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.2解析：∫0a|0a＝sina＋cosa－1＝2sina＋π－1，(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)4∵a∈ππππ0，2，∴当a＝时，2sina＋4－1取最大值．答案：449．计算下列定积分：11(1)223x＋222x0sinxdx；(2)∫2xdx；(3)0edx.解：(1)22xdx＝21－cos2x112π1π0sin02dx＝x－sin2x0＝－sinπ－0＝.24444∫2312∫231dx＝12＋2x＋lnx|23＝9(2)x＋xdx＝x＋＋2x＋6＋ln3－(2＋4＋ln2)x22＝9＋ln3－ln2＝9＋ln3222.11111(3)2xdx＝2x2＝02e2e02e－.210．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积2212x131y＝x－x，S＝∫0(x－x)dx＝2－3x|0＝61.又y＝kx，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x＝0，x＝1－k，所以，34S1－k21－k2131－k13.又知1，所以(1－k)312＝∫0(x－x－kx)dx＝2x－x|0＝(1－k)S＝＝，36623314于是k＝1－2＝1－2.11．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，则∫x0(kx－x2)dx＝∫2x(x2－kx)dx，1213x13122即2kx－3x|0＝3x－2kx|x，121381312解得2kx－3x＝3－2k－3x－2kx，解得k＝4OP的方程为y＝44163，即直线3x，所以点P的坐标为3，9.112．求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－3x所围成图形的面积．y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；由1得交点B(3，－1)．解：由y＝2－x，y＝－3x，1131231112321413故所求面积S＝∫xdx＋∫xdx＝x22＝.0x＋12－x＋3＋x|0＋2x－x|1＝＋＋63363363