21.1二次根式第PAGE页 二次根式1．能用二次根式
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示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，那么它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t＝______．问题2：上面得到的式子eq\r(3)，eq\r(S)，eq\r(,65)，eq\r(\f(h,5))分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义以下各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)eq\r(11)；(2)eq\r(－5)；(3)eq\r(〔－7〕2)；(4)eq\r(3,13)；(5)eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))；(6)eq\r(3－x)(x≤3)；(7)eq\r(－x)(x≥0)；(8)eq\r(〔a－1〕2)；(9)eq\r(－x2－5)；(10)eq\r(〔a－b〕2)(ab≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为eq\r(11)，eq\r(〔－7〕2)，eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))＝eq\r(\f(1,30))，eq\r(3－x)(x≤3)，eq\r(〔a－1〕2)，eq\r(〔a－b〕2)(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.eq\r(3,13)的根指数不是2，eq\r(－5)，eq\r(－x)(x≥0)，eq\r(－x2－5)的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“eq\r( )〞；(2)被开方数是非负数．[来源:学§科§网Z§X§X§K]探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围[来源:1ZXXK][来源:Zxxk.Com]求使以下式子有意义的x的取值范围．(1)eq\f(1,\r(4－3x))；(2)eq\f(\r(3－x),x－2)；(3)eq\f(\r(x＋5),x).解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜eq\f(4,3).当x＜eq\f(4,3)时，eq\f(1,\r(4－3x))有意义；(2)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－2≠0，))解得x≤3且x≠x≤3且x≠2时，eq\f(\r(3－x),x－2)有意义；(3)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0，,x≠0，))解得x≥－5且x≠x≥－5且x≠0时，eq\f(\r(x＋5),x)有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：[来源:Z.xx.k.Com](1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)a、b满足eq\r(2a＋8)＋|b－eq\r(3)|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；(2)x、y都是实数，且y＝eq\r(x－3)＋eq\r(3－x)＋4，求yx的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．解：(1)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋8＝0，,b－\r(3)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝\r(3).))那么(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；(2)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,3－x≥0，))解得xy＝4，故yx＝43＝64，±eq\r(,64)＝±8，∴yx的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察以下等式，再答复以下问题．①eq\r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝1＋eq\f(1,1)－eq\f(1,1＋1)＝1eq\f(1,2)；②eq\r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2＋1)＝1eq\f(1,6)；③eq\r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝1＋eq\f(1,3)－eq\f(1,3＋1)＝1eq\f(1,12).(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出eq\r(1＋\f(1,42)＋\f(1,52))的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数局部是1，分数局部的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)eq\r(1＋\f(1,42)＋\f(1,52))＝1＋eq\f(1,4)－eq\f(1,4＋1)＝1eq\f(1,20)；(2)eq\r(1＋\f(1,n2)＋\f(1,〔n＋1〕2))＝1＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1eq\f(1,n〔n＋1〕)(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计[来源:Z*xx*k.Com]1．二次根式的定义一般地，我们把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；eq\r(a)有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与比照，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
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