_高斯光束

第4章高斯光束基模高斯光束是一种非均匀波。它有点类似于平面波，但是它的强度分布是不均匀的，主要集中在传播轴附近，它的等相面也不是平面，而略有弯曲。稳定腔激光器输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场强度分布也是接近于高斯型的。因此，研究高斯光束的特性和传输和变换的规律，对于与激光束变换有关的光学系统的设计，以及光学谐振腔的 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 设计都是至关重要的。第一节高斯光束的基本特点4.1.1基模高斯光束一、振幅分布由公式（4.102）和(4.103)可以推出沿z轴传播的基模高斯光束的表达式为wx2y2x2y2zE(x,y,z)AE0exp()exp[j(kzk)arctg)]（4.1）00000w(z)w2(z)2R(z)f其中zzw(z)w1()2w1()20w20f0fR(z)z[1()2]（4.2）zw2f0其振幅为wx2y2E(x,y,z)AE0exp()（4.3）00000w(z)w2(z)可见，基模的行波场振幅在任意z坐标处的横截面内都是高斯分布，同样可定义w(z)为与传播轴线交于z点的基模光斑半径，R(z)为与传播轴线相交于z点的光束等相位L面曲率半径，且f为高斯光束的共焦 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 代表共焦腔的特征（f）。由式(4.2)可知，2不同z处的基模光斑半径不同，w(z)随坐标z按双曲线规律变化（如图4.1所示）w2(z)z21（4.4）w2f20在z＝0处，式中w(z)达到极小值，w(0)＝w，通常把w称为高斯光束的基模腰斑半00径（束腰）。有时也用符号z代替f，称为高斯光束的瑞利长度；则有R图5.1基模高斯光束及其参数w(z)2w,R(z)2z，可见z实际上代表的是共焦腔中心到一个反射镜的距离，R0RRR同时也是高斯光束光斑半径增加束腰2倍的位置。通常认为在zz的范围内，高斯R光束是近似平行的，因此实际应用中，也把2z称为高斯光束的准直距离。R二、模体积某一模式的体积是指该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积越大， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 对该模式的振荡有贡献的激活粒子就越多，从而可获得较大的输出功率。由于基模高斯光束的光斑大小随z变化，因此模体积可按下式计算LLLz22V22w2(z)dz22(1)dzL2（4.5）00002f23三、等相位面分布高斯光束既不是平面波，也不是一般的球面波。正如在4.6.5中讨论的那样，基模高斯光束在傍轴近似下可以看作是一种非均匀高斯球面波。在传播过程中相面始终保持为球面，而其曲率中心与曲率半径不断改变。当zf的时候，R(f)2fL，等相位面与腔镜反射面重合；当z0或z时候，R(0)R()，共焦腔的中心位置及距中心无限远处的等相位面都是平面；腔镜反射面是基模高斯光束传播过程中曲率半径最小的等相位面。四、相移基模高斯光束的总相移为x2y2zkzkarctg（4.6）002R(z)fx2y2z其中kz为几何相移，k为与径向有关的相移，arctg为附加相移。2R(z)f五、远场发散角共焦腔基模高斯光束的光斑半径按双曲线规律从中心向外扩展，不同位置的光束发散角不同；通常高斯光束的远场发散角（图4.1所示，双曲线的两条切线的夹角0）定义为高斯光束的发散角，计算公式如下：2w(z)lim2（4.7）0zzzR4.1.2高阶模高斯光束稳定球面腔中，除了基模高斯光束存在以外，还有高阶高斯光束。如4.6节讨论，方形共焦腔的自再现模积分方程的解可以近似为表示厄米函数和高斯函数的乘积；而圆形共焦腔自再现模积分方程的解可以近似表示为拉盖尔函数和高斯函数的乘积；因此，两种共焦腔对应的高阶高斯光束分别称为厄米—高斯光束和拉盖尔—高斯光束。一、厄米—高斯光束沿z方向传播的厄米—高斯光束的表达式为w22x2y2E(x,y,z)AE0H[x]H[y]exp()mnmn0w(z)mw(z)nw(z)w2(z)（4.8）z(x2y2)zexp[j(k(fz)(mn1)(arctan))]2(f2z2)4f其与z轴垂直的截面内场分布由高斯函数和厄米函数乘积决定，光斑在x方向有m条节线，在y方向有n条节线，x、y方向光斑半径不同，分别为1w(z)mw(z)m20（4.9）1w(z)nw(z)n20相对应的远场发散角为1mm20（4.10）1nn20沿z轴传输中的附加相移为z(mn1)(arctan)（4.11）mn4f可见，厄米高斯光束的光斑半径和附加相移均随阶次（m，n）的增高而增大。另外，由公式（4.115）可知，厄米高斯光束的等相面半径与m，n无关，由腔参数f和位置z决定，说明其各阶横模的等相位面重合。二、拉盖尔高斯光束沿z方向传播的拉盖尔—高斯光束的表达式为w22r2cosm0mm2E(r,,z)AE[r]L[r]exp()•mnmn0w(z)w(z)nw2(z)w2(z)sinm（4.12）zr2zexp[j(k(fz)(m2n1)(arctan))]2(f2z2)4f其与z轴垂直的截面内场分布由高斯函数和拉盖尔函数乘积决定，光斑在径向r有n条节线，在幅角方向有m条节线。式中取sinm和cosm的区别在与光斑的极值和零点的方向互易。光斑和基模高斯光束光斑半径的近似关系为为1w(z)m2nw(z)（4.13）mn20相对应的远场发散角为1(z)m2n(z)（4.14）mn20沿z轴传输中的附加相移为z(m2n1)(arctan)（4.15）mn4f可见，拉盖尔高斯光束的光斑半径和附加相移均随阶次（m，n）的增高而增大，且随径向增大的快些。另外，有公式（4.115）可知，拉盖尔高斯光束的等相面半径与m，n无关，由腔参数f和位置z决定，说明其各阶横模的等相位面重合。拉盖尔—高斯模与厄密—高斯模虽然形式上完全不同，但它们各自都构成一组正交完备函数；激光器中的实际光场可按这两组函数任一组展开，这是因为两者的任意组合都是波动方程的解，这就是它们之间的联系。实际上拉盖尔—高斯模与厄密—高斯模或TEM10TEM10(是相同的，拉盖尔—高斯模与厄密—高斯模是相同的。一般具有轴圆TEM01)TEM20TEM11()对称的光学谐振腔输出的光束是拉盖尔—高斯型的。但是由于布儒斯特窗的影响或光学谐振腔端面反射镜的倾斜，都可能造成输出光束是矩形对称厄密—高斯型的。第二节高斯光束的传输4.2.1高斯光束的复参数传播的ABCD定律由基模高斯光束的公式（4.1，4.2）可知：已知高斯光束的束腰w(或共焦腔参数f)的0大小及其位置，则可确定与束腰相距z处的光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)，从而得到空间任意一点的场强度，并确定整个高斯光束的结构。同样，若已知坐标z处的w(z)和R(z))，则可反过来决定高斯光束腰斑的大小和位置，从而确定整个高斯光束的结构。因此，这两组参数是高斯光束的特征参数，已知其中任何一组都可以确定高斯光束的具体结构。此外，还可定义一个复参数q(z)，把高斯光束的R(z)和w(z)两个参数结合起来11i（4.16）q(z)R(z)w2(z)这样，一个高斯光束就可以用一个参数来描述。则可以把式（4.1）改写为wx2y2zE(x,y,z)AE0exp(jk)exp[j(kzarctg)]（4.17）00000w(z)2q(z)f和傍轴球面波公式（4.18）相比较，1x2y2E(x,y,z)exp(jk)exp[jkz]（4.18）00RRq(z)的作用类似与球面波中的曲率半径R，因此有时也把q(z)参数称为高斯光束的复曲率半径，知道q参数即可确定高斯光束的结构。可以证明，高斯光束的复参数传播满足矩阵光学中的ABCD传播定律，即高斯光束通AC过一个光线变换矩阵为光学系统以后，其q参数变化满足BDAqBq1（4.19）2CqD1下面以高斯光束在自由空间的传播为例对高斯光束的ABCD定律进行简单验算，设高斯光束在谐振腔原点的q参数为111iii（4.20）qR(0)22z0w0w0R1z0沿z轴传播距离z相当于经过的光学系统，代入（4.19）式，其复参数变为001AqB11zizq(z)0qzziz0R（4.21）0CqD000Rq(z)zizz2z2000R0R则11zz2Re[]0R(z)zRR(z)q(z)z2z200z000R0（4.22）11fz2220Im[]w(z)w(1)w2(z)q(z)z2z200z2000RR与公式（4.2）吻合。4.2.2高斯光光束的薄透镜变换如图4.2所示，设入射高斯光束的束腰w在距透镜（透镜焦距为f）前表面l的地方，0到达透镜前表面时等相位面为M，曲率半径为R，光斑半径为w，q参数为q；经过透镜1111以后，在透镜后表面的等相位面为M，曲率半径为R，光斑半径为w，q参数为q，束腰2222为w'，在距透镜l'的位置上。设入射高斯光束在束腰位置的q参数为q，则001i（4.23）qw2001l高斯光束从束腰开始，经过自由空间以后，01AqBq0ql（4.24）1CqD00101经过薄透镜1以后fAqBfqq11（4.25）2CqDqf111l'再经过经的自由空间01AqBq'2ql'（4.26）0CqD22将（4.23）、（4.24）、（4.25）代入4.26并整理，可以计算出高斯光束再l'位置的R参数，并可以推出和'参数的表达式l'w0w2lf(fl)f(0)l'w2(fl)2(0)2（4.27）f2w2w'200w2(fl)2(0)2显然，高斯光束的薄透镜成像与球面波成像的物像关系是不同的，只有当w时，上式0才与球面波成像的物像关系式相同。由于透镜只改变相位，不改变光强分布，所示高斯光束经过薄透镜以后仍然是高斯光束，其束腰大小和位置将发生改变；即利用透镜可以改变高斯光束的特征，这一特点有重要的应用价值。图5.2高斯光束的薄透镜变换第三节高斯光束的特性改善4.3.1高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦是高斯光束透镜变换的一种重要应用。高斯光束能聚焦成极小的光斑，其限度可以小到波长的量级，因此功率密度极高。我们通常利用聚焦光束进行打孔、切割和焊接等多种加工。光加工的特点是非机械接触及作用区域。其好处是工件不易受到机械损伤，物理和化学性能也不会受到很大影响。此外，由于聚焦光斑小，空间分辨率高，可用来实现高密度信息存储。高斯光束聚焦，主要关心三个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，即聚焦光斑的大小w'、焦深和焦斑位置。0一、光斑大小1.透镜焦f确定w'随l变化的情况0假设聚焦透镜的焦距固定，根据公式(4.27)可以画出焦斑大小w'和高斯光束束腰离透镜0距离l的关系，如图4.3所示：1）lf时，w'随l的增大而单调增大，当l0时，w'取极小值00图5.3高斯光束聚焦w'和l关系0www'00w（4.28）00w2z1(0)21(R0)2ffw2式中，z=0为原高斯光束的瑞利长度。因此，当l0时，总有聚焦作用，且焦距越小，R0聚焦效果越好。如果不考虑透镜衍射，fz，则w'0可以获得极小的焦斑。00w'2）lf，0得到极大值w'f（4.29）0(max)w0w2此时，只有当f0时才有聚焦作用。3)lf时，w'随l的增大而单调减小，l时w'0，l'f。此时，物距l越大、00焦距f越小，聚焦效果越好，这也是高斯光束聚焦中实际使用的情况。2.物距l确定w'随透镜焦f变化的情况0同样可以假设高斯光束束腰到透镜的距离（物距）固定，根据公式(4.27)可以画出焦斑大小w'和聚焦透镜f的关系，见图4.4。0图5.4高斯光束聚焦w'和f关系0z1)当fl[1(R)2]R(l)时，w'取极大值l0s1w'w[1(0)2]2w(l)（4.30）00z0其中R(l),w(l)分别代表高斯光束在透镜处等相面曲率半径和光斑半径。12)当fR(l)时，w'取随f减小单调减小，当fR(l)时有w'w，可见仅当02001fR(l)时透镜才对高斯光束有聚焦作用，且焦距越小，聚焦效果越好。23)当fR(l)时，w'取随焦距f增加单调减小，最终f时，得到w'w，这种000情况下，没有聚焦作用。综上所述，只要物距l足够大，焦距f足够小，激光束可以聚焦到很小的光斑尺寸，但是值得注意的是，考虑衍射孔径的限制，激光束不可能聚焦到无限小。实际上，考虑透镜衍射的影响以后，基模高斯的聚焦极限约等于一个波长量级。因此在实际应用中要获得更小的激光光斑，只能采用更短的波长，这也是高密度信息存储（如DVD）应用中采用绿光或蓝光半导体激光器，而不用红光或者红外激光二极管的原因。二、焦深和焦斑位置焦深就是纵向聚焦范围或者说是高斯光束近似准直区域的长度，一般用聚焦后的高斯光束瑞利长度的两倍来表示，有w'22z'20（4.31）R该式表明，焦深与焦斑半径存在着平方正比关系；欲使焦斑小，焦深也随之变短。考虑焦深对于激光打孔是重要的，打孔深度一般不能超过焦深，否则孔径上下相差很大（图4.5）。图5.5激光打孔深度和焦深的关系除了焦斑大小和焦深，焦斑位置(即束腰位置)也是一个重要参数。在激光加工系统中，通常聚焦透镜本身又是成像光学系统的一部分，因此要求高斯光束聚焦后的焦斑位置和能清晰成像的点重合，这样可以方便观察和加工，称之为“齐焦”问题，它和焦斑位置密切相关。实际设计时，可以满足其焦要求，确定l'，然后给出焦斑大小的要求w'/w，最后计算出00入射光束束腰位置要求l。4.3.2高斯光束的准直从光学角度来看，激光应用对高斯光束变换的要求不外乎三种，即准直、发射(包括扩束)和聚焦。聚焦已经在上节讨论了，本节只讨论准直问题。高斯光束从束腰向前传播，在距离较小的范围内(与瑞利长度相比)，它的光斑大小几乎不变，在远离束腰的地方，光斑随着传输距离的增加线性地扩大。“准直”则需要一条细而笔直的光束，即在相当长的范围内保持光斑尽量小，且要求光束的发散角小。然而由公式（4.7）可以知道，光斑大小和光束的发散焦那是成反比关系的，因此准直实际上实在发散角（对应准直长度）和光斑大小之间求得一个可以接受的平衡。一条准直的激光束可以看作一个特别长的高斯光束的束腰。人们通常定义准直区域(或束腰长度)为两倍的瑞利长度2zR。在准直区域两端光斑直径是束腰直径的2倍，或光斑面积等于腰斑面积的两倍。一、单透镜对高斯光束的准直公式（4.7）可以改写为2（4.32）w0把公式（4.29）代入上式，当lf时，则薄透镜变换以后的高斯光束发散角的极小值为2w20（4.33）w'f0(max)该式表明，要获得很小的发散角，需要用很大焦距的透镜和并且要求入射高斯光束的束腰很细。因为有lf条件，即入射高斯光束束腰在透镜后焦面上；因此，透镜焦距取值越大，入射高斯光束在透镜上形成的光斑大小w(l)也就越大，这样会对透镜的口径D提出很高的要求。在实际使用中，D很大的透镜不太经济，同时普通激光器输出的高斯光束不容易满足束腰极小的条件，所以利用一个透镜是不能实现非常好的准直的。通常利用D=10cm的透镜对可见光进行准直，可以达到6km左右的准直长度，且光斑保持在5cm左右。要实现更好的准直效果，需要先利用透镜对高斯光束进行聚焦，然后再进行准直。二、望远系统对高斯光束的准直图5.6利用望远系统准直高斯光束望远系统对高斯光束的准直需要分作两种情况讨论：一是重焦的望远系统，即透镜L1的后焦点与透镜的前焦点重合；二是离焦的望远系统，即的后焦点与透镜前焦点L2L1L2不重合。如图4.6所示，对于重焦系统，为保证lf，要求l'f，这样要求入射高斯光束束2211腰离透镜的距离l有明确的要求，而不能取lf，影响透镜L的聚焦效果。根据薄透镜1111变换公式，容易计算出重焦望远系统准直的效果和望远镜的放大倍率有关：w''Mw（4.34）00对于离焦系统，则l的取值更加灵活，可以先把入射光束束腰w放置在距付镜（L）l1011的地方，并保证l〉〉f，则：11w'F（4.35）0w(L)1并使w'处在主镜（L）的焦距处l=f，则：0222fw''f2w(l)（4.36）0w'2f101上式说明，对离焦望远系统，合理的选择系统的参数，可以得到比重焦望远系统更好的准直效果。当然，上述公式是在光斑直径远小于透镜口径的前提下推导的，如果光斑直径接近或大于透镜孔径时，必须考虑衍射效应，则光束的大小极其发散角应由孔径决定。4.3.3高斯光束强度的均匀化和模匹配一、强度均匀化在激光材料加工和其它一些应用中，常常希望光强的横向分布尽可能均匀，这就需要把光强为高斯分布的激光变成矩形分布。解决问题的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有：组合透镜法，空间滤波法和反高斯分布吸收法等。最后一种方法是比较实用的方法，如图4.7所示，在平凹透镜和平面镜组合的空腔部分充满折射率与平凹镜相同的吸光液，就构成了透过率为反高斯分布的滤光装置。合理设计平凹镜的几何形状和选择合适的吸收率液体，可以使滤光装置中心部分（r<