江苏省东台中学2013届高三第一学期期中考试数学试卷参考答案1.命题“”是命题（选填“真”，“假”）【解析】真2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第四象限【解析】因，对应点，即第四象限3.集合中的实数的取值范围为【解析】（必修1课本第10页第5题改编）考查集合的互异性以及对数成立的意义4.在△中，，，，则_____．【解析】利用正弦定理可知：5.在等比数列中，已知则数列的前项的和【解析】（必修5课本51页例1原题）3646.函数的图象向左平移个单位后，与的图象重合，则实数的最小值为.【解析】，所以至少向左平移个单位，即的最小值为7.若实数x,y满足条件,则目标函数z=2x+y的最小值是【解析】作出可行域易知在点(2,2)处取得最小值为68.已知则的值为【解析】（必修4课本21页例4改编）9.已知向量，若，则的最小值为【解析】由题意可知，即所以当且仅当时取等号10.已知等比数列{}的各项均为不等于1的正数，数列满足，则数列前n项和的最大值为______________.【解析】由题意可知数列为等差数列，且，所以由得，故前n项和的最大值为11.已知奇函数在点处的切线方程为,则这个函数的单调递增区间是 .【解析】因为为奇函数，所以，所以由题意可知由函数的单调递增区间为12.设:在内单调递增;:已知，，若对任意，总存在，使得成立,则是成立的条件.【解析】::故反之不成立，所以是成立的充分不必要条件.13.设数列是首项为0的递增数列，,满足：对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为__________.【解析】由题意可知，即，迭加可得14.定义域为[a,b]的函数图像的两个端点为A、B，M（x,y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”。若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为【解析】由题意,M,N的横坐标相等,恒成立,则由,得直线AB的方程为,由图象可知当且仅当时”=”成立所以15.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．解：（1）因为………6分所以………………………………………7分（2）因为所以………………9分(如解析式化错,这2分依然可得)由解得所以函数的单调减区间为………………14分(区间开闭均可,无扣1分)16.已知函数,且的解集为.（1）求的取值范围；（2）在取得最小值时,若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围解：(1)由题意可得………………………………3分所以当且仅当即时”=”成立……………………………………5分故的取值范围为……………………………………7分(2)由(1)可得,因为对于任意的,恒成立在恒成立,故又函数在上递增,所以…………12分所以………………………………………………………………………………14分17.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上，数列{bn}满足,且b3=11,前9项和为153.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列前n项的和；解:(1)由题意可知：所以时，，时，也适合该式所以………………………………………………………………………4分由知是等差数列由的前9项和为153，可得：又，所以的公差………………………………………………………………………………4分（2）记数列前n项的和为则两式相减，得……………………………13分所以………………………………………………………………15分18.两县城A和B相距20km，现
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在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查
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明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解：（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9…………3分所以y表示成x的函数为……………………6分（2）解法一:,，…………………………………………10分令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.……………………………………………………………………………………14分解法二:设,则,,……………………………………………………………10分所以当且仅当即时取”=”.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,………………………………14分所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小……………………………………………………………15分19.已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若是奇函数,求实数的值;(2)若函数在上单调递增,试求实数的取值范围;(3)设函数,求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数解：（1）由……………………………………………………………4分（2），在上单调递增显然成立；……………………………………5分令，因为所以且递增，故在时递增时，在时递增，故所以……………………………………………………………7分时，在时递增恒成立，故所以……………………………………………………………9分综上：……………………………………………………………10分（3），所以即要
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任意的,方程在有实数解令所以①当时，，所以在有解，且只有一解……………………………12分②当时，所以在有解，且有两解……………………………14分③当时，有且只有一解，当时，有且只有一解，综上所述，对于任意的,总存在,满足,且当时，有唯一的适合题意，当时，有两个不同的适合题意。……………………………16分20.设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和．（1）证明；（2）设记数列的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小.【证明】（1）由题设知a1>0，q>0．………………………………………1分(i)当q=1时，Sn=na1，于是Sn·Sn+2－=na1·(n+2)a1－(n+1)2=－<0，…3分(ii)当q≠1时，，于是Sn·Sn+2－=．…………7分由(i)和(ii)，得Sn·Sn+2－<0．所以Sn·Sn+2<，．……………8分(2)方法一：Tn=，Tn－q2Sn=，…………………………………13分＝≥2>0，…………………………………15分所以Tn>q2S．…………………………………………………………16分方法二：Tn=， 由，…………………………………………………13分因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），因为，所以，即Tn>q2S.……………………………16分
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