10mjt-两角和与差的正弦、余弦和正切公式

.21—2sina;tan2a=2tana1—tan?a第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式♦高考导航顺风启程・最新考纲常见题型1•会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.公式的灵活应用是高考的热2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.点，多以选择题，填空题形式3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正出现，在解答题中，考查二角切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们函数性质或解三角形时，也应的内在联系•用本节公式，占5分左右.4AnM回扣—［知识梳理］i.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(a±3=sinaCOS3土cos_sin3:COS(a?3=cosaCOS3±sinasin3:tan(a±3=tana±tan31?tanotan32.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sin_acos_a;2.22COS2a=COSa—Sina=2COSa—1［知识感悟］辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.⑵在(0,n范围内,Sin(a+®=^所对应的角a+B不是唯一的.有关公式的逆用及变形用(1)tana±tan3=tan(a±®(1?tanotan3；(2)COS2a=1+COS2asin2a=1—COS2a(3)1+sin2a=(sina+COSa)2,1—sin2a=(sina—COSa2,sina±COSa=2sina±n.角的变换技巧a=(a+3)—3；a=3一(3—；a=*a+3)+(a-3］；13=2［(a+B)_(a_3］;n.n4+a=2n7—a.4［知识自测］1.sin18cos27cos18sin2的值是（）=sin45=舟4D.3sina+cosa1［解析］由sina—cosa=2,等式左边分子、分母同除，口tana+1cosa，得tana—12，解得tana［解析］sin18°cos+7cos18°sin27si°18—27°［答案］A”Sina+cosa1士十/2.若=厅，贝卩tan2a等于(sina—cosa23B.4C.=—3,贝Utan2a=2tan：=31—tana4［答案］B3.（2017北京）在平面直角坐标系xOy中,角a与角B均以OX为始边，它们的终边关于y轴对称.”・1若sina=3,cos(a—3)=3［解析］1因为a和3关于y轴对称，所以a+3=n+2kn,那么sin3=sina=3cosa=—2a/2cos3=3,这样cos(a—3=cosacos3+sinosin=—cos2a+sin2a=2sin2a-1=—£.［答案］4句圧动探究题型一三角函数公式的应用（基础保分题，自主练透）例①（江苏卷）已知a€严，冗，sina=^25(1)求sin；+a的值;⑵求COS5n_2a的值.［解］⑴因为asina=¥,5所以cosa=—苇1—sin2a2.55.nnn故sin4+a=sin4cosa+cos护a=自-等+#—=—嚅.⑵由⑴知sin2a=2sin必osa=2X&545,2=3=5,两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用0、B的二角函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示a±3cos2a=1—2sin2a=1—2x555n5n5n所以cos石—2a=cos石cos2a+sin7sin2a=方法感悟的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.【针对补偿】11.（2018东北三校第二次联考）已知sina+cosa=3,则sin2C.|17B五［解析］1-sina+cosa=3,-(sina+cosa)2=1+2sinacosa=9，-sin2a=—8/•sin21—sin2a17218'［答案］2.已知tann1nrta+4=7,则tana=［解析］tan.na=tana+4ntan好4—1=1.n1+tana+［答案］题型三角函数式的化简（基础保分题，自主练透）JG丿(1)若tana=2tanf,3ncosa—10则等于(na—二5sinC.3⑵求值:1+cos202sin20sin10tan5—tan5°.3nCOSaio［解］⑴解析sin.3n丄nsina—10+2nsina+5sinnsina—5sinna—5nsina—5n必os5—cossinancosLCOSa5HYPERLINK\l"bookmark38"\o"CurrentDocument"sinanncos匚一sin552cos7+sinn5nsin52•7t,.7tcos'+sin55cos-5COSansin55n・n；cos'—sin55cos753sinnnsin53,故选C.［答案］C2cos210⑵原式=2x2sin10cos护°10cos5°sin5sin5°cos5W22o°cos5—sin5—sin10--2sin10sin5cos5cos10cos10—sin10-•2sin101^sin10cos10ocos10—2sin20=—2cos10=2sin10°2sin10°_cos10—2sin30°—10°2sin10°o1亚cos10—2^cos10—~^sin10°2sin10°_V3sin10匚血=2sin10戸2.方法感悟三角函数式的化简要遵循“三看”原则1.一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2•二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；3•三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.【针对补偿】4212cosx—2cosx+3•化简：n・2nI2tan~—xsin2-+x44［解析］1—2sin2xcos2x+原式=HYPERLINK\l"bookmark26"\o"CurrentDocument"n2n2sin—xcos2—x44nCOS4—X1-sin22xn2sin厂x122cos2x1=Ocos2x.nc2sin—2x4.（2018河北名师俱乐部模拟）已知n142cos20—10,,且sin0—cos=—',，贝U，44ncos4+03C.33D.2［解析］由sin0-cos0=—严得sin才一0=宁,nnnn„30,4，•••°v4―*4，二cos4—0=4.2cos20—1=cos20_sin2—20cos；+0sin；—0sin；—0nTOC\o"1-5"\h\zsin24—934cn*3——2cos;—9—a.HYPERLINK\l"bookmark64"\o"CurrentDocument"42sin—94［答案］D题型三三角函数式的求值（高频考点题，多角突破）考向一给值求值11.（2016全国川卷）若tan9—3，贝卩cos29等于（）D.4［解析］22222cos9—sin91—tan9cos29—cos29—Sin29——2厂—2cos29+sin291+tan294，故选D.5［答案］D2.（2018贵阳监测）已知sinn1戸汀6—a—3,则cos23+a的值是（C.7-［解析］n1•••吨—a—3,n_cos3—2a=cosn26—a=1—2sin2n6—a79,…cosn23+a=cos79.［答案］考向二给角求值3.[2sin50+°in10。+13tan10°)2sin280—［解析］原式一2sin50+sin10gos10+、：3sin10cos10°,2sin802sin50半2sin101?qcos10+^sin10cos10cos(6GD°°)],2cos10=22[sin50°•cOss®i10=2述sin(50°10°尹2^2x罟=爭.[答案].6tan12-J3'4cos212。一2sin12°［解析］tan1234cos212。—2sin12sin12cos124cos212。—2sin12sin12—<3cos12°=22sin12—23cos12°4cos212。—2sin12°cos12sin242cos212。—1—2sin60°cos1—cos60°sin12sin242cos212。一12sin48°4cos24°sin242cos212°—1=2cos212°—1=—442cos212。—12cos212。一1［答案］—4考向三给值求角5.（2018山东省德州市四月二模）已知cosa=3，cos（a—®=，且0<3<贰才，那么3=()7tnA—A.12—nC.4［解析］cos3=cos[a—(a—3)]=cosacos(a—®+sin«sin(a—3,由已知cosa=5,cos(a7,210,0<30，2X-2tana3又•/tan2a=厂=1—tana人121—30<2a0,cosB=13>0,得0