第四章三角函数、解三角形第1讲角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．下列各选项中，与sin(2191°)的值最接近的数是( )A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(2),2)解析sin(2191°)＝sin(6×360°＋31°)＝sin31°.故选A.
答案
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A2．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝( )A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)解析r＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案B3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为( )．A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析 72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．答案 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度
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量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )．A．1B．2C．3D．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)与eq\f(5π,6)的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 A5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为( )A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)解析r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m>0.∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝±eq\f(1,2).∵m>0，∴m＝eq\f(1,2).答案B6．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧eq\x\to(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致为( )解析如图，取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2Rsinθ＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，∴d＝2sineq\f(l,2)，故选C.答案C二、填空题7．函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(\f(1,2)－cosx)的定义域是________．解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,\f(1,2)－cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤\f(1,2).))∴x的取值范围为eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z)8．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．解析 由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)
0，cosα<0，[来源:学|科|网Z|X|X|K]故eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(|cosα|,cosα)＝eq\f(sinα,sinα)－eq\f(－cosα,cosα)＝1＋1＝2.答案2三、解答题11．(1)确定eq\f(tan－3,cos8·tan5)的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(00，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.(2)若0<α<eq\f(π,2)，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.若α＝eq\f(π,2)，则sinα＋cosα＝1.由已知00.12．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解 ∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又∵tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2).13．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解 设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．14．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，△AOB为正三角形．(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.解 (1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝eq\f(4,5).(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，又sin∠COA＝eq\f(4,5)，cos∠COA＝eq\f(3,5)，∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝eq\f(3,5)·eq\f(1,2)－eq\f(4,5)·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).
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