9巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题

9巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中　李敬峰　谷兴武学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：   ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）   ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．   ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.   因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。    一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：△ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。求证：△ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。求证：△ABC是等腰三角形。方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     在△ADC和△EDB中        AD=DE        ∠ADC=∠EDB        CD=BD     ∴△ADC≌△EDB     ∴AC=BE,∠CAD=∠BED     ∵AD是∠BAC的角平分线     ∴∠BAD=∠CAD     ∴∠BED=∠BAD     ∴AB=BE   又∵AC=BE     ∴AB=AC     ∴△ABC是等腰三角形。方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 开辟出新思维。具体做法是：如图2，过点D作DF⊥AB，DE⊥AC垂足分别为F、E。又因AD是∠BAC的角平分线，所以DF=DE。因为BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以=，再根据“等积三角形高相等则底也相等”，因为===，又因DF=DE，所以AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。　　　　　　　　　　　　　　　　　　当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证明两组直角三角形分别全等，从而证明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明显较麻烦些，但是思路要给予肯定。需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。 二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题 1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。　　　　　　　　　　　　　　　　　　经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接AO（图略），证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，证明OA=OB=OC，方法相当地麻烦。分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句，所以学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起。如果学生有“两线合一，必等腰”的思维，很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。简单证明：连结BC，∵CD⊥AB，AD=BD         ∴AC=BC （注：利用线段垂直平分线的性质）       同理可得：AB=BC         ∴AC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。2、逆命题②的应用例2 已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。　　　　　　　　　　　　　　　求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。简单证明：延长CD交AB于点E，由题目提供的条件，可证△AED≌△ACD，∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。例3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D，　　　　　　　　　　　　　　　求证：CD=BE分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA，交于点F，补全等腰三角形。简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD，可知△BCF是等腰三角形∴CD=DF=CF再证△ABE≌△ACF∴BE=CF∴CD=BE可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。   笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。例4 逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。　　　　　　　　　　　　　　　求证：EF∥AB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G。   简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC∴EG=CE 又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB，EF=BG=(AG-AB)=(AC-AB)3、逆命题③应用：例5 已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E，F分别是AB、AC的中点（ 初中 初中体育教案免费下载初中各年级劳动技术教案初中阶段各学科核心素养一览表初中二次函数知识点汇总初中化学新课程标准 阶段不能用三角形的中位线的逆定理），又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的性质可知，DE=AC，DF=AB，可见只要证明AC=AB，题目所求证的结论就可得证。因为AD既是∠BAC的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”，所以△ABC是等腰三角形可证，方法见逆命题③的证明。证明：过程略。还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。例6        如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB        　　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F，易证△ABE≌△FCE，所以AB=CF，AE=EF，可见只要证明AD=FD，题目所求证的结论就可得证。可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线，又是AF边上的中线，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。可见，学生如果有“两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。 三、请读者小试牛刀 学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示）1、已知，如图10，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线交AD于E，交AC于P，∠CAD的平分线交BP于Q。求证：△QAD是等腰三角形。（提示：可证∠AQB=90°，延长AQ。此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用）　　　　　　　　　　　　　　　　　2、如图（图略，读者自己画），在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：ME=MF．（提示：延长BE、CF．） 3、如图（图略），BE、CF是△ABC的角平分线，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N．求证：MN∥BC．（画图时，注意AB≠AC）　4、如图（图略），已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠C的平分线CE⊥AD于E，且DE=2AE，CE把梯形ABCD分成两部分，求这两部分面积之比．（画图时，注意AB为上底，CD为下底，E点在线段AD上） 5、BD、CE是△ABC的两个外角的平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：(1)DE∥BC．(2)DE等于△ABC的周长的一半．（画图时，注意BD，CE在直线BC的同侧）等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。