24.3锐角三角函数凤鸣初中夏琴∠A的邻边bACB∠A的对边a斜边c知识点1：直角三角形的认识1：对于∠A来说：2：对于∠B来说,它们分别是什么？练跟进训课本P107页1题：如图，在Rt△MNP中，∠N=90°.∠P的对边是＿＿＿，∠P的邻边是＿＿＿.∠M的对边是____.∠M的邻边是____NPMMNPN思考：在Rt△AB3C3中，当锐角A取其它的固定值的时候，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？AB3C3C1C2B2B1分析：易知Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3∴可见：在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，它的对边与邻边的比值是一个定值。实际上，对边与斜边、邻边与斜边的比值也是一个定值。知识点2：锐角三角函数定义1、∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA,即2、∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA,即3、∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA,即4、∠A的邻边与对边的比值叫做∠A的余切，记作cotA,即锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切叫做锐角∠A三角函数简记：重要提示：三角函数只与角度的大小有关，与边的长短无关。锐角三角函数定义正弦,余弦,正切,余切:回顾与思考1驶向胜利的彼岸bABCa┌c三角函数的应用例1如图所示，求出∠A的四个三角函数。ABC158解：AC=∴sinA=COSA=tanA=cotA=提示：已知直角三角形任意两边可以求出两锐角的四个三角函数值。课本P107页例题跟进训练课本P102页2题：求出图中∠D的四个三角函数值CDE106解：CE=∴sinD=COSD=tanD=cotD=例2如图所示，在△ABC中，AB=AC=13,cosB=则BC=__________。ABCD分析：三角函数是在直角三角形中，而题中没有直角三角形，所以，需要作辅助线，将∠B放入一个直角三角形中。∵cosB=∴∴BD=5,∴BC=2BD=1010跟进训练在Rt△ABC中，∠B=90°,sinC=求∠A的四个三角函数值。解：∵sinC=分析：∠B=90°，则斜边应为ACBCAAB:AC=5:13∴可设AB=。AC=。5k13k5k13k∴BC=12k∴sinA=COSA=tanA=cotA=方法总结：已知一个三角函数值，相当于已知两边的比，设每一份为k，求出第三边，然后根据三角函数的定义就可求出其它三角函数值知识点3：三角函数的性质1：取值范围：ACB0＜sinA＜10＜cosA＜1tanA＞0cotA＞0abc∵a＜c,b＜c,且a、b、c都大于02.互余两角之间的三角函数关系:直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.则∠B=90°-∠AbABCa┌c则sinA=cosB或cosA=sinB.tanA=cotB或cotA=tanB.sinA=cos（90°-A）或cosA=sin（90°-A）.tanA=cot（90°-A）或cotA=tan（90°-A）.一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。3.同角之间的三角函数的关系(1)平方和关系:bABCa┌c(2)商的关系:(3)倒数关系:例3已知sinA=，求∠A的其他三个三角函数值解：cosA=tanA=cotA=∵sinA=a:c,∴可设a=k,C=3k,由勾股定理可求出b,然后根据定义求出其他三个三角函数值可跟进训练拓展训练∴可设_______=5k,_______12k又∵=1小结sinA=cos（90°-A）或cosA=sin（90°-A）.tanA=cot（90°-A）或cotA=tan（90°-A）.bABCa┌c1.直角三角形三边的关系:2.直角三角形两锐角的关系:∠A+∠B=90°.3.直角三角形边与角之间的关系:4、互为余角的三角函数间的关系：5、同角之间的三角函数关系:作业课本P111页习题24.31、2题补充1：在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB是直角边AC的3倍。求∠A的四个三角函数值2：已知sinA=,求∠A的另外三个三角函数值
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