近世代数模拟试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
一.单项选择题(每题5分，共25分）1、在整数加群(Z，＋）中，下列那个是单位元（).A。0B.1C.－1D。1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A.G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群；B。G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C。G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群；D.G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群。3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（)。A.反身性B。对称性C.传递性D.封闭性4。对整数加群Z来说，下列不正确的是（）。A。Z没有生成元。1是其生成元.C。－1是其生成元。D。Z是无限循环群。5。下列叙述正确的是（）。A。群G是指一个集合.B。环R是指一个集合。C.群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律，并且单位元,逆元存在.D。环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元,近世代数
试题
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第1页共7页逆元存在.二.计算题（每题10分,共30分）1。设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求中G中下列各个元素1213c,d0,cd，的011阶。2。试求出三次对称群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的所有子群.近世代数试题第2页共7页若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明。三.证明题(第1小题10分,第2小题15分，第3小题20分，共分）。1.证明：在群中只有单位元满足方程近世代数试题第3页共7页x2x.2．设G是正有理数乘群,G是整数加群.证明：:2nbna是群G到G的一个满同态，其中a,b是整数，而(ab,2)1。近世代数试题第4页共7页3．设S是环R的一个子环.证明:如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题（每题5分，共25分)近世代数试题第5页共7页1.A2。D3.D4.A5。C二.计算题(每题10分，共30分）1。解：易知c的阶无限,（3分）d的阶为2.（3分）但是11cd,01的阶有限，是2。解：S3的以下六个子集（2分）(2分）H1(1),H2(1),(12),H3(1),(13),H4(1),(23),H5(1),(123),(132),H6S3(7分）对置换乘法都是封闭的,因此都是S3的子集。(3分)解:e是R的单位元。事实上，任取a,bR,则因e是R的左单位元，故(aeae)ba(eb)abebababbb,即aeae也是R的左单位元。故有题设得aeaee,aea.即e是R的单位元.三、证明题（每小题15分共45分）1．证明：设e是G的单位元,则e显然满足所说的方程(3分）另外，设aG且a2a，则有近世代数试题第6页共7页a1a2a1a,即ae,（5分）即只有e满足方程x2x.（2分）2。证明：显然是G到G的一个满射（3分）又由于当(ab,2)1,(cd,2)1时有(abcd,2)1（4分）(2nb2md)(2nmbd)nm且acac（6分）b)(2md).(2nac故是群G到G的一个同态满射.（2分）证明:分别用e和e
表
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示R与S的单位元，且ee，于是e不是R的单位元.(3分）因此，存在0aR，使aea或eaa（5分）如果aea，则aea0,且(aea)eaeae0,（4分）即e是R的（右)零因子.(3分)同理，如果eaa,则e是R的（左）零因子。（5分)近世代数试题第7页共7页
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