一元二次方程的几何解法

一元二次方程的几何解法一元二次方程几何解法之欧几里得解法今天,解一元二次方程的几何方法已经很少受到人们的注意了,对于那些认为学习数学就是学习解题的人来说,几何方法也没有多少实用价值,因为学生只要记住求根公式就可以解任意一个一元二次方程了。但在历史上,几何方法的影响却要超过代数方法,一元二次方程与曲线和几何图形的联系是那样的紧密,在我们使用代数方法为几何问题解决做出定量分析的同时,我们也可以使用几何的方法来求一元二次方程的精确解这样有助于沟通两知识之间的联系,还数学知识整体的面貌,也有助于学生思维灵活性的形成。从中我们还可以看到一元二次方...

一元二次方程几何解法之欧几里得解法今天,解一元二次方程的几何方法已经很少受到人们的注意了,对于那些认为学习数学就是学习解题的人来说,几何方法也没有多少实用价值,因为学生只要记住求根公式就可以解任意一个一元二次方程了。但在历史上,几何方法的影响却要超过代数方法,一元二次方程与曲线和几何图形的联系是那样的紧密,在我们使用代数方法为几何问题解决做出定量分析的同时,我们也可以使用几何的方法来求一元二次方程的精确解这样有助于沟通两知识之间的联系,还数学知识整体的面貌,也有助于学生思维灵活性的形成。从中我们还可以看到一元二次方程解法的发展演变。根据有关文献资料，历史上有多种一元二次方程的几何解法。例如:欧几里得解法，三国时期赵爽的解法，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的解法，卡莱尔的方法斯陶特的方法等。此次我们仅针对欧几里得解法进行讲解。下面我们用超级画板展示两命题欧几里得《几何原本》第2卷命题5如果平分一条线段,再将其分成不相等的两段.则由不等两段构成的矩形与两分点之间一段上的正方形的和等于原来线段一半上的正方形。abab用今天的符号写出来,ab()2()222如图所示：abab线段AB=a,BC=b,点D是线段AC的中点，DBa。22命题等价于证明SSS小黄色正方形矩形BCIK正方形DCGH黄色部分为等式左右两边共同部分，问题转换为证明绿色矩形和黄色矩形面积相同。利用超级画板，通过翻转变换，可以看到绿色矩形与红色矩形完全重合。命题得证。命题6如果平分一线段,并且在同一线段上给它加上一线段,则整条线段与所加线段构成的矩形与原线段一半以上正方形的和等于原线段一半所加线段之和上的正方形。用今天的符号写出来为：aa(ab)b()2(b)222图形表示如下：AC是原线段，BC是其所加线段。D为AC中点。AD=DC=a/2，BC=b.命题6转化为数学表达式为：SSS正方形ADGH矩形ABIK正方形DBEF从图中可看出矩形DI为等式两边所共有的部分。正方形ADGH经过平移与正方形IQ完全重合。剩下的矩形经过翻转完全重合。经过平移和翻转后的图形经过平移和翻转后黄色部分完全覆盖蓝色部分，我们可以直观地看出等式左右两边面积相等。二、欧几里得法解一元二次方程欧几里得的几何证明实际上解决了一元二次方程x2±bx=c,而x2bxcx(xb)c。因为相当于说:将已知长度为b的线段分成两部分(xbxxb和b-x)使其构成的矩形面积为,c。即c()2()2，所以易得x的22解。同理，相当于说在长度为b的线段AB的延长线上求一点D,使AD(b+x)bb与BD(构成的矩形面积为x)c.由命题6得，c()2(x)222由此可解得x.当然欧几里得的方法并不能解决所有一元二次方程，也有一些限制，比如需满足b>0,c>0。超级画板——化腐朽为神奇的利器以本题为例，超级画板的运用简化了证明过程，形象直观地表达了图形之间的联系。不利用超级画板简单地运用平面画图老师需要绘声绘色地描述才能达到预期的教学效果。超级画板的图形平移翻转功能使得学生直观地看到图形是重合的，因此对于空间想象力不是那么强的学生理解此题也不在话下。此题属于易于理解的平面图形变化，对于更加难以想象的图形变换，超级画板能充分发挥其强大功能。对于数学教学中的几何部分，超级画板的作用还不止于此。通过测量可找到在某些变化下的不变量。通过拖拽，帮助学生更好地理解题目。另一方面，学生通过观察动画过程，也是对所学知识的复习与巩固。知识只有在不断的重复与运用中才能被理解掌握，进而做到有的放矢。除此之外，超级画板还有编程部分，为数学学习的代数部分提供方面。运用超级画板制作课件也是教师创作的过程，超级画板的强大功能，给教师提供了很好的课件制作平台。作为学生接受近乎白话的数学自然轻而易举。因此，超级画板的合理利用可以增强学生的信息接受量，提高教师的创新能力。超级画板化抽象为具体的神奇功能极大地简化了教学过程提高了教学效果。

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