PAGE8七年级下册数学培优——相交线与平行线例1．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；…则 n条直线共有交点个数：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)评注：此
题
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是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例2．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)例3．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；…∴10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例4、两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角直线的条数345...n对顶角的对数61220...n(n-1)邻补角的对数122440...2n(n-1)例5．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A．6 B．7 C．8 D．9解析：5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C例6．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3解析：平面上3条直线可能平行或重合。故选D例7．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）A．36条 B．33条 C．24条 D．21条例7解析:对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选D例8．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（）（A）9（B）10（C）11（D）12例8解析:由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线上，可以画出6条直线，∴整理得∵n+9＞0∴∴选B。例9．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点9．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个例10、平面上3条直线最多可分平面为个部分。10．解：可分7个部分例11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。11．0个、1个或无数个1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个例12、平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点例13、一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？13、、∵直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3条直线，∴最多能确定15+3+1=19条直线
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