2021年人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)拓展二《数列求和的方法》（解析版）

拓展二数列求和的方法思维导图常见考法考点一裂项相消【例1】（2020·云南弥勒市一中月考（理））若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】（1）详见解析（2）SKIPIF1<0【解析】 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，计算得出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，1则SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））设数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【答案】（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）（2）SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)可知数列SKIPIF1<0是等差数列,设公差为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的通项公式为:SKIPIF1<0(SKIPIF1<0);(2)由(1)知SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0考点二错位相减【例2】．（2020·贵州省思南中学月考）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时也适合该式，SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①则SKIPIF1<0②①-②得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0的等差数列，其前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰为等比数列SKIPIF1<0的前三项．（1）求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）见解析【解析】（1）由题意，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0②①-②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．从而SKIPIF1<0．2．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）设数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都有无穷项，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=4；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0亦满足此关系，∴SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由题意，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是等比数列，公比为1，首项为1，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．考点三分组求和【例3】．（2020·赣榆智贤中学月考）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2020·河南高二月考）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，在各项均不相等的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，（1）求数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【解析】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．验证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，∴数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．（2）由（1）得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2020·河南高二月考（理））已知在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因此，数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（2020·天水市第一中学）已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设公比为SKIPIF1<0由题意可知SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0考点四倒序相加【例4】．（2020·全国高三其他（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题可知：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0又SKIPIF1<0于是有SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时取等号本题正确选项：SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2020·江苏高二期中）设函数SKIPIF1<0，利用课本（苏教版必修SKIPIF1<0）中推导等差数列前SKIPIF1<0项和的方法，求得SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：B.2．（2019·浙江丽水·高二月考）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．4033B．-4033C．8066D．-8066【答案】D【解析】SKIPIF1<0，所以原式SKIPIF1<0.3．（2020·江苏常熟中学月考）已知函数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则数列SKIPIF1<0的前2019项和SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则数列SKIPIF1<0的前2018项和SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0考点五奇偶并项【例5】．（2020·湖南高二月考）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，______.请在①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选①，（1）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公差的等差数列.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.选②，（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公差的等差数列.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.选③，（1）同理，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公差的等差数列，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【一隅三反】．1（2019·广东汕头·金山中学高二月考（理））设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⑴求数列SKIPIF1<0的通项公式；⑵设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0为首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0综上SKIPIF1<02．（2020·内蒙古集宁一中期中（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.两式相减，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0考点六绝对值求和【例6】．（2020·鄂尔多斯市第一中学高二期中（理））已知数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（　　）A．150B．162C．180D．210【答案】B【解析】由对勾函数的性质可知：当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为递减；当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为递增．所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=162【一隅三反】1．（2020·广东宝安·高二期末）已知SKIPIF1<0是首项为32的等比数列，SKIPIF1<0是其前n项和，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0前10项和为()A．58B．56C．50D．45【答案】A【解析】SKIPIF1<0是首项为32的等比数列,SKIPIF1<0是其前n项和,且SKIPIF1<0,所以公比不为1，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0前10项和为SKIPIF1<0,故选：A