和式的恒等变换二.赛题精讲一.知识概括例1.证明Lagrange恒等式：nnn在不等式的证明过程中，我们经常要对和式进行办理，对和式作一些恒等变形.所以，有必需(ai2)(bi2)(aibi)2(aibj认识一下一些重要的恒等变换式以及变换法：i1i1i11剟ijn（1）aiajbbijaibjajbi(aibi)(ajbj)；nn（2）(ai)2ai22aiaj；i1i11剟ijnnn（3）(aiaj)2nai2(ai)2；1剟ijni1i1nnnnnn（4）(ai)(bi)aibjajbi；i1i1i1j1i1j1nnnj1例2.实数集{a0，a1，，an}知足以下条件：（5）aiaj(aiaj)(aiaj)；1剟ijni1ji1j2i1（1）aa0；（2）对1剟kn1，ak0nnn1nnajbi)；（6）aibj2i(abiji1j11j1（7）ann1a1(ak1ak).k1Abel分部乞降公式：nnn1kakbkbnak(ai)(bkbk1)k1k1k1i1Abel不等式：t设b1厖b2厔bn0，mak?M，t1，2，，n.则有：k1nb1m剟akbkb1Mk1ajbi)2.n11.caik(aiai1).求证：c,ik4n1/3nn例3.已知xiR，i1，2，，n，n2，知足i|xi|1，i1xi0.n2kn1例5.设0，i121，求i的最大值和最小值.xi，，，n，且xi2xkxjxnxi11i11剟kjnji1|,（1989年全国高中数学联赛）求证：|22ni1in例4.设xR，nN.求证：i1林匹克）[ix]x的最大整数.（第10届美国数学奥例6.实数x1，x2，2000，令yk1k，k，，，.求,[nx]，这里[x]表示不超出，x200满足|xkxk1|2001kxi122001ik1i12000|ykyk1|的最大可能值.（2001年上海市高中数学比赛）k12/3例7.已知a1，a2，，an和b1，b2，，bn是实数.证明：使得对任何知足x1剟x2?xn的实数，nnkknn不等式aixi,bixi恒建立的充要条件是aibi，k1，2，，n1，且aibi.（第i1i1i1i1i1i127届IMO国家集训队选拔考试）n，有2n1n43n1例8.证明：对每个正整数n剟in.不等式两边等号建立当且仅当n1.3i166三.赛题训练1.设n是给定的正整数，n3，关于n个给定的实数a1，a2，，an，记m为|aiaj|(1剟ijn)n的最小值.求在ai21的条件下m的最大值.i12.已知a1，a2，，an为随意两两各不同样的正整数.求证：对随意正整数n，以下不等式建立：nakn1（第20届IMO）（提示：由阿贝尔变换得nak1n111，此中k1k2k1k22Sn[k22]Skk1knk1(k1)kkSkaii.）i1i13.（钟开莱不等式）设ak，bkR(k1，2，，n)，a1厖a2厖an0，对k1，2，，n，恒有kknnnnai,bi.则必有ai2,bi2.（提示：先用阿贝尔变换证明ai2,aibi，再用柯西）i1i1i1i1i1i14.已知a1，a2，，an，是实数列，知足aij,aiaj(i，j1，2，，n，).证明：（1）n2n1i2，nN)；a剠a(n1i1（2）a1a2a3anan（2002年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）23n（提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿（1）得ak,2k1ai，再对求证式左侧用阿贝尔变换）k1i1nn5.设a1厖a2厖an0，b1厖a1，b1b2a1a2，，b1b2bn?a1a2an.求证：biaii1i1bi(1剟in（提示：令cin)，结论转变为(ci1)ai0，用阿贝尔变换及均值不等式可得）aii13/3
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