第1章133

第1章导数及其应用1.3.3最大值与最小值1.3导数在研究函数中的应用明目标、知重点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2.会求某闭区间上函数的最值．填要点、记疑点1.函数在闭区间[a，b]上的最值2.在闭区间求函数最值的步骤3.函数在开区间(a，b)内的最值4.极值与最值的意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.函数在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得.端点极值点2.在闭区间求函数最值的步骤明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的，(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.极值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.函数在开区间(a，b)内的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.4.极值与最值的意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.探要点、究所然探究点一求函数的最值探究点二含参数的函数的最值问题探究点三函数最值的应用情境导学明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考1　如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺答　f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考2　观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺小结　一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考3　函数的极值和最值有什么区别和联系？答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺小结　求一个函数在闭区间上的最值步骤：1.求导，确定函数在闭区间上的极值点.2.求出函数的各个极值和端点处的函数值.3.比较大小，确定结论.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π].解　(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺探究点一求函数的最值x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，).因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝π或x＝π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝f(π)＝∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得.①求出导数为零的点.②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得.探究点一求函数的最值明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5].探究点一求函数的最值解　(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.∵f(2)＝，f(0)＝4，f(3)＝1，－2∈[0,3]，∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.探究点一求函数的最值探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max＝综上所述，f(x)max＝探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练2　在例2中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺③当－1<a<0，即－<a<0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)max＝探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺综上所述：f(x)max＝探究点二含参数的函数的最值问题明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答　解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.探究点三函数最值的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.探究点三函数最值的应用解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).探究点三函数最值的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).探究点三函数最值的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.探究点三函数最值的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1　(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.探究点三函数最值的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：探究点三函数最值的应用t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)单调递增1－m单调递减明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺探究点三函数最值的应用∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.∴实数m的取值范围是(1，＋∞)当堂测、查疑缺12341234明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.函数y＝x－sinx，x∈的最大值是________.π解析　因为y′＝1－cosx，当x∈时，y′>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺2.若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上f(x)与g(x)的大小关系为____________.f(x)≥g(x)1234解析　∵f′(x)>g′(x)，∴f(x)－g(x)单调递增.∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x).明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.－711234解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺4.函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为__________.1234解析　f′(x)＝ex(sinx＋cosx).∵x∈，f′(x)>0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺呈重点、现规律1.求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值.开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺呈重点、现规律(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.谢谢观看更多精彩内容请登录：http://www.91taoke.com