新高考高考数学一轮复习巩固练习6.4第51练《数列中的构造问题》（解析版）

第51练　数列中的构造问题考点一　形如an＋1＝pan＋f(n)型1．(2022·上海虹口区模拟)若数列{an}满足an＋1＝3an－8，且a1＝6，则数列{an}的通项公式为an＝________.答案　2·3n－1＋4(n∈N*)解析　由an＋1＝3an－8，则an＋1－4＝3(an－4)，a1－4＝2，所以数列{an－4}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an－4＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1＋4(n∈N*)．2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋n，则数列{an}的通项公式为______________．答案　an＝2n＋1－n－1(n∈N*)解析　结合题意得an＋1＋keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))＋b＝2(an＋kn＋b)，整理得an＋1＝2an＋kn＋b－k，满足an＋1＝2an＋n，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kn＝n，,b－k＝0，))所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，))新数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋n＋1))是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*)).3．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为an＝________________.答案　2·3n－1－1(n∈N*)解析　令an＋1＋λ＝3(an＋λ)，所以an＋1＝3an＋2λ，因为an＋1＝3an＋2，所以2λ＝2，可得λ＝1，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比为3的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，可得an＝2·3n－1－1(n∈N*)．4．若数列{an}满足an＝2an－1＋2n－2，a1＝1.则a7＝______.答案　256解析　由an＝2an－1＋2n－2，整理得eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋eq\f(1,4)，即eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝eq\f(1,4)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,4)为公差的等差数列，所以eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)(n－1)＝eq\f(n,4)＋eq\f(1,4)，整理得an＝eq\f(n＋1·2n,4)＝(n＋1)·2n－2，所以a7＝8×25＝28＝256.考点二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1型)5．(2022·哈尔滨三中月考)已知数列{an}满足：对任意的n∈N*均有an＋2＝an＋1－an成立，且a1＝1，a2＝2，则该数列的前2022项和S2022等于(　　)A．0B．1C．3D．4答案　A解析　因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝－an，即an＝an＋6，所以数列{an}中的项具有周期性，且周期T＝6，由a1＝1，a2＝2，依次对an＋2＝an＋1－an赋值可得，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，一个周期内6项的和为零，而2022÷6＝337，所以该数列的前2022项和S2022＝0.6．(2022·绵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则S10等于(　　)A.eq\f(410－1,5)B.eq\f(411－1,5)C．410－1D．411－1答案　A解析　因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0，所以eq\f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3，则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.所以S10＝eq\f(3×1－165,1－16)＝eq\f(410－1,5).7．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，则该数列的通项公式为________．答案　an＝eq\f(1,n)解析　∵eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，又eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝1且eq\f(1,a1)＝1，∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)＝n，故an＝eq\f(1,n).考点三　倒数为特殊数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＝\f(pan－1,ran－1＋s)型))8．(2022·西南大学附中月考)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，则a6等于(　　)A.eq\f(1,31)B.eq\f(1,32)C.eq\f(1,63)D.eq\f(1,64)答案　C解析　由题意，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2,an)＋1，即eq\f(1,an＋1)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，故eq\f(\f(1,an＋1)＋1,\f(1,an)＋1)＝2，又因为eq\f(1,a1)＋1＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是首项为2，公比为2的等比数列，从而eq\f(1,a6)＋1＝2×25，解得a6＝eq\f(1,63).9．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋1an,an＋2n)，对于任意n∈N*，a∈[－2,2]，不等式eq\f(3n,an·2n)<2t2＋at－1恒成立，则t的取值可以是(　　)A．1B．2C.eq\f(3,2)D．4答案　BD解析　根据题意，an＋1＝eq\f(n＋1an,an＋2n)，即eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,an＋2n)，两边同时取倒数可得，eq\f(n＋1,an＋1)＝1＋eq\f(2n,an)，即得eq\f(n＋1,an＋1)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)＋1))，又eq\f(1,a1)＋1＝2，由此可得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,an)))是首项为2，公比为2的等比数列，所以1＋eq\f(n,an)＝2n⇒eq\f(n,an)＝2n－1，所以eq\f(3n,an·2n)＝eq\f(32n－1,2n)＝3－eq\f(3,2n)<3，所以2t2＋at－1≥3，即at＋2t2－4≥0在a∈[－2,2]上恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2t＋2t2－4≥0，,2t＋2t2－4≥0，))⇒t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．10．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(an,2－an)，若bn＝eq\f(1,an)－1，则数列{bn}的通项公式为bn＝________.答案　2n－1解析　因为an＋1＝eq\f(an,2－an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)－1，所以eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(2,an)－2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，而eq\f(1,a1)－1＝1，且bn＝eq\f(1,an)－1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝1×2n－1＝2n－1.11．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，则an等于(　　)A．10n－2B．10n－1C．102n－1D．22n－1答案　D解析　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，所以有log2an＋1＝2log2an，整理可得eq\f(log2an＋1,log2an)＝2，所以{log2an}是首项为log2a1，公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1，即an＝22n－1.12．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋4eq\r(an)＋1，则数列{eq\r(an)}的通项公式eq\r(an)＝____________.答案　(eq\r(2)＋1)×2n－1－1解析　∵an＋1＝4an＋4eq\r(an)＋1＝(2eq\r(an)＋1)2，∴eq\r(an＋1)＝2eq\r(an)＋1，∴eq\r(an＋1)＋1＝2(eq\r(an)＋1)，∴数列{eq\r(an)＋1}是以eq\r(a1)＋1＝eq\r(2)＋1为首项，2为公比的等比数列，∴eq\r(an)＋1＝(eq\r(2)＋1)×2n－1，∴eq\r(an)＝(eq\r(2)＋1)×2n－1－1.13．已知数列{an}满足a1＝5，(2n＋3)an＋1－(2n＋5)an＝4n2＋16n＋15，则an＝________.答案　2n2＋3n解析　依题意，(2n＋3)an＋1－(2n＋5)an＝(2n＋3)(2n＋5)，故eq\f(an＋1,2n＋5)－eq\f(an,2n＋3)＝1，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋3)))是以1为首项，1为公差的等差数列，故eq\f(an,2n＋3)＝n，则an＝2n2＋3n.14．数列{an}满足eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为________．答案　an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2))解析　因为eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，所以eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＋eq\f(1,2n＋1)an＋1＝2(n＋1)＋1，两式相减得eq\f(1,2n＋1)an＋1＝2，即an＝2n＋1，n≥2，又eq\f(1,2)a1＝3，所以a1＝6，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2.))