PAGEPAGE2函数与导数(4)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的个数是( )①f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为(－1,0)②f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1 ③函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点④函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1；函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.2．[2019·济宁高三模拟考试]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3答案：C解析：令f(x)＋3x＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.3．[2019·安徽宣城第二次调研测试]已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )A．a>c>d>bB．a>d>c>bC．c>d>a>bD．c>a>b>d答案：A解析：由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2019＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知f(x)＝0的两根c，d就是g(x)＝－2019的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2019的大致图象，如图所示，则g(x)的图象与直线y＝－2019的交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b.又a>b，c>d，且c，d在区间(b，a)内，所以由图得，a>c>d>b，故选A.4．[2019·北京西城区期中]根据对某农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则( )A．A
BD．A，B大小不确定答案：C解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x元/千克，y元/千克，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y>8，①,4x＋5y<22，②))A＝2x，B＝3y，①×22，②×8，整理得12x－18y>0，即2x－3y>0，所以A>B.故选C.5．[2019·四川绵阳模拟]函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)答案：C解析：由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,4－1－a>0，))解得00，,－\f(1,x)，x<0，))则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A．1B．3C．2D．4答案：B解析：作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图象可知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.8．[2019·江西南昌二轮复习测试]某地一电商2017年和2018年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2017年的增长率为a,2018年的增长率为b，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为( )A.eq\r(ab)B.eq\f(a＋b,2)C.eq\f(a＋1b＋1－1,2)D.eq\r(a＋1b＋1)－1答案：D解析：设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝eq\r(1＋a1＋b)－1，故选D.9．[2019·山西吕梁阶段性测试]函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<1，,2x2－ax，x≥1))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)答案：C解析：当x<1时，函数有一个零点x＝0；当x≥1时，令2x2－ax＝0得x＝eq\f(a,2)，则只需eq\f(a,2)≥1，得a≥2，故选C.10．[2019·安徽六安一中模拟]若函数f(x)＝|logax|－3－x(a>0，a≠1)的两个零点是m，n，则( )A．mn＝1B．mn>1C．mn<1D．mn>eq\f(1,2)答案：C解析：令f(x)＝0，得|logax|＝3－x，易知y＝|logax|与y＝3－x的图象有2个交点．不妨设m1，作出两个函数的图象，如图所示，∴3－m>3－n，即－logam>logan，∴logam＋logan<0，即loga(mn)<0，∴mn<1.故选C.11．[2019·江西吉安期末]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)－t，x≥0，,2x＋1－t，x<0，))若f(x)有两个零点x1，x2(x1>x2)，则x1－x2的最小值是( )A．1B．2C.eq\f(3,4)D.eq\f(15,16)答案：D解析：①eq\r(x1)－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)．②2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝eq\f(1,2)t－1(t<2)．综合①②得x1－x2＝t2－eq\f(1,2)t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,16)(0≤t<2)，所以当t＝eq\f(1,4)时，x1－x2的值最小，是eq\f(15,16)，故选D.12．[2019·河北武邑中学第二次调研]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0，,fx＋1x<0，))若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，0)B．[0,1)C．(－∞，1)D．[0，＋∞)答案：C解析：函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0，,fx＋1x<0))的图象如图所示．作出直线l：y＝a－x，并平移直线l，观察可得当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有两个不相等的实数根，则a<1，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))在[0，π]的零点个数为________．答案：3解析：由题意可知，当3x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(19,6)π))，∴当3x＋eq\f(π,6)取值为eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)时，f(x)＝0，即函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))在[0，π]的零点个数为3.14．[2019·天津联考]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x>1，))则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为____________．答案：2解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象，如图，可知两函数图象有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．15．[2019·广西南宁、梧州等八市联合调研]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|，x>0，,x＋1，x≤0，))若函数y＝f(x)－a2有3个零点，则实数a的取值范围是____________．答案：[－1,0)∪(0,1]解析：由题意，作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|，x>0，,x＋1，x≤0))的图象，如图所示．因为函数y＝f(x)－a2有3个零点，所以关于x的方程f(x)－a2＝0有三个不等实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a2有三个交点，由图象可得00))有且只有一个零点，则实数a的取值范围是____________．答案：{0}∪(1，＋∞)解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又－eq\f(1,a)<0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＋a>0，得a>1；当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0，,－3x>0))恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3无零点，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，－eq\f(1,a)>0，f(0)＝a<0，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点．故答案为{0}∪(1，＋∞)．
浙公网安备 33021202002483