第四节三重积分(一)内容要点一、三重积分的概念：,当1时，设积分区域的体积为，则有，(4.2)这个公式的物理意义是：密度为1的均质立体的质量在数值上等于的体积.二、直角坐标系下三重积分的计算投影法截面法三、利用对称性化简三重积分计算一般地,如果积分区域关于平面对称,且被积函数是关于的奇函数,则三重积分为零如果被积函数是关于的偶函数,则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍当积分区域关于或平面对称时，也有完全类似的结果.例题选讲投影法例1(E01)计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解如图(见系统演示)，将区域向面投影得投影区域为三角形闭区域在内任取一点过此点作平行于轴的直线，该直线由平面穿入，由平面穿出，即有所以例2(E02)化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.解注意到题设两曲面的交线为一圆故在面上的投影为圆域或对内任一点有所以例3(E03)计算其中是由曲面与平面所围成.解将往平面投影得投影域是个圆域，而的左界面为，右界面为.故采用极坐标计算这个二重积分得注:若将往面投影，再计算则比较复杂.例4计算积分其中由曲面,所围成.解区域介于曲面与平面之间,将投影到平面得投影区域原式例5化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面,所围成的空间闭区域解如图(见系统演示)，积分区域介于平面与旋转抛物面之间,且在面上的投影为所以例6(E04)求由曲面所围立体的体积.解由于曲面仅相交于原点，则积分区域在平面上的投影区域为下曲面为上曲面为于是例7(E05)计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解(1)截面故原式(2)根据例1所确定的积分限,有例8(E06)求,其中是由椭球面所成的空间闭区域.解易见，区域在轴上的投影为在此区间内任取作垂直于轴的平面,截得一椭圆截面所以原式利用对称性化简三重积分计算例9(E07)计算其中积分区域解如图(见系统演示)，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数，所以例10(E08)计算,其中是锥面和平面所围空间区域.解如图(见系统演示)，因为积分区域关于面对称，被积函数中的是变量的奇函数，所以从而有由于被积函数只是的函数，可利用截面法求之.积分区域介于平面与之间，在任取一点作垂至于轴的平面，截区域得截面为该截面得面积为所以第五节三重积分(二)内容要点一、利用柱面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为(5.1)柱面坐标系中的三族坐标面分别为常数：一族以轴为中心轴的圆柱面；常数：一族过轴的半平面；常数：一族与面平行的平面.柱面坐标系中的体积微元:，为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只有两个交点.设在面上的投影为，区域用，
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示.区域关于面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为，，，于是二、利用球面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为(5.3)球面坐标系中的三族坐标面分别为常数：一族以原点为球心的球面；常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；常数：一族过轴的半平面.球面坐标系中的体积微元:，三、三重积分的应用空间立体的重心J・其中，为该物体的质量.空间立体的转动惯量空间立体对质点的引力例题选讲利用柱面坐标计算三重积分例1(E01)立体是圆柱面内部,平面下方,抛物面上方部分,其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K),求的质量m.解据题意，密度函数为所以利用柱坐标，先对积分，在平面上投影域为故例2(E02)计算其中是由球面与抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域解利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为从中解得两曲面的交线为在面上的投影区域为对投影区域内任一点有所以例3计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体解由曲线绕轴旋转所得曲面方程为旋转抛物面设利用球面坐标计算三重积分例4(E03)计算其中是锥面与平面所围的立体解在球面坐标系中故积分区域可表为所以注:本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面积分区域同样得到例5(E04)计算球体在锥面上方部分的体积(图9-5-8)解在球面坐标系中,故所求体积例6计算,其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域.解注意到关于和面对称，有且在面上的投影区域圆域对内任一点，有所以2264772105103105822105103105822
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