学习必备欢迎下载要点重温之不等式的解法及其综合应用1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；[特别关注]求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。axb0的解集是（）[举例1]关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式x2A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(1,2)D．(-∞,1)∪(2,+∞)解析：不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)a>0且a=b，则不等式axb0等价于：x1x20(x+1)(x-2)>0x>2或x<-1,选A。x2[举例2]a(x1)1解关于x的不等式：2x解析：a(x1)1(a1)x(a2)0[(a1)x(a2)](x2)0x2x2以下不等式两边同除以a-1，需讨论其正负；①若a>1，等价于：(xa2)(x2)0a1此时需知不等式相应的方程的两根x1a2与x2=2的大小，比差：a22=2a，a1a1a1可见a>1时，x1
x2,不等式的解为：a1（2,a2）；（ⅱ）若a<0，x11时不等式的解为(-∞，a2)∪（2，+∞)；当00则|f(x)|>Mf(x)>M或f(x)<-M；②平方（不等式两边同正）；③讨论（绝对值内的式子为0）。[举例]设p：x2－x－20>0,q：1x2<0,则p是q的()x2（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：p：(-∞，-4)∪（5，+∞)；以下对命题q中的不等式去绝对值：（ⅰ）x≥0时原不等式等价于：1x2<0(x2)(x1)(x1)0-120∴0≤x<1或x>2；（ⅱ）x<0时，原不等式等价于：1x2(x2)(x1)(x1)0x<02-10|x0|>1x0<-1；若x0≥0，则f(x0)=2x01>0x0>0故选B[举例2]已知：函数f(x)ax,x00）．解不等式：f(x)1．a,x0（ax2xa2解析：（ⅰ）当x0时，即解ax120，此时不等式恒成立，即x0；x2x2学习必备欢迎下载（ⅱ）当x0时，即解a1x(a2)0，∵a22，xx22∴0x2或xa2．综上：不等式的解为：(,2)(2a,)设函数f(x)(x1)2x11。则x0的取值范围是（[巩固1]4x1x，则使f(x0)）1A（-,2][0，10]B（-,2][0,1]C（,2][1,10]D[-2，0][1，10][巩固2]已知f(x)1,x0,则不等式x(x2)f(x2)≤5的解集是1,x0,4．解抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。[举例1]已知奇函数f(x)在(,0)为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：。y解析：作函数f(x)的“概念图”如右：先求不等式xf(x)<0的解：当x>0时y轴右侧），f(x)<0(x轴下方)，∴x>2；当x<0时（y轴左侧），-22xf(x)>0(x轴下方)，∴x<-2；可见不等式xf(x)<0的解为：x<-2或x>2（也可以根据满足不等式xf(x)<0的函数图象上的点横、纵坐标异号，看图象在第二、四象限的部分得出）。再将x换成x-1,得：x-1<-2或x-1>2即x<-1或x>3。[举例2]已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.解析：正比例函数f(x)满足：f（x＋y）＝f（x）＋f（y），本题中函数f(x)可视为一次函数。解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；用定义：任取x10,则f(x2-x1)>2f(x2)+f(-x1)-2>2f(x2)+f(-x1)>4；对f(x+y)+2＝f(x)+f(y)取x=y=0得：f(0)=2,再取y=-x得f(x)+f(-x)=4即f(-x)=4-f(x),∴有f(x2)+4-f(x1)>4f(x2)>f(x1)f(x)在R上递增又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5f(1)=3；于是：不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)1,则f(x)<0；②f(1)1；③对2定义域内的任意实数x，y，都有：f(xy)f(x)f(y)，则不等式f(x)f(5x)2的解集为。5．解决含参变量的无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。[举例1]不等式1x2xa在[-1，1]上恒成立，则a的取值范围是解析：分别作函数y1x2和yxa的图象如右，前者是以原点为圆心的单位圆的上半部分，后者是斜率为1的直线。不等式1x2xa的解即半圆在直线-1O1的下方的点的横坐标；不等式恒成立即半圆都在直线的下方，由图可见，只需直线在与圆相切的位置的上方，即a2。[举例2]若不等式x213ax的解集为[1，2]，则实数a的取值集合是P解析：分别作函数yx21和y3ax的图象如右，前者是双曲线x2-y2=1的x轴上方的部分，后者是过原点12的直线。不等式x213ax的解即双曲线在直线下方的点的横坐标；如图所示，不等式的解集为[1，2]，即两图象交点P的横坐标为2，分别代入两函数
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达式，得：3213a，即a.2[巩固1]不等式a2x22xa(a0)的解集是（）Ax0xaBx0xaCxx0或x4aD5学习必备欢迎下载[巩固2]关于x的不等式x2loga(x1)在（0，1）上恒成立，则a的取值范围是。6.遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题，通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；具体地：g(a)>f(x)在x∈A上恒成立g(a)>f(x)max，g(a)0在x∈A上恒成立f(a,x)min>0,(x∈A)及f(a,x)<0在x∈A上恒成立max(x∈A)来转化；还可f(a,x)>0,以借助于函数图象解决问题。特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x∈M恒成立”与“不等式f(a,x)≥0对所有a∈M恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。[举例1]定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0，+)为增函数，对任意∈R，不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒成立，则实数m的取值范围是解析：∵函数f(x)为奇函数且在[0，+)为增函数，易见：函数f(x)为在（-，0]上递增，∴函数f(x)在（-，+)上递增；不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒成立不等式f(cos2-3)>f(-2m+sin)恒成立不等式cos2-3>-2m+sin恒成立2m>2sin2+sin+2恒成立,记g()=2sin2+sin+2=2(sin+1)2+15,g()max=g(1)=5m>5.48∴2m>52[举例2]设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)t22at1对所有的x[1,1]及所有的a[1,1]都成立，则t的取值范围是；解析：先视x为主元，关于x的不等式fx)t22at1对所有的x[1,1]横成立(f(x)maxt22at1，又f(x)在[-1，1]上递增，∴f(x)maxf(1)1，即：t22at1≥1，现在视a为主元，关于a的不等式t22at≥0对所有的a[1,1]都成立，记g(a)=-2ta+t2，此时分离参数（t）或求函数g(a)的最小值均需讨论，但如果注意到函数g(a)是一次函数，其图象是一条直线，则g(-1)≥0且g(1)≥0得t≥2或t≤-2或t=0。[巩固1]f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在[1，1]上恒2成立，则实数a的取值范围是。[2]]对满足0P4的实数P2Px4xP3x巩固，做恒成立的的取值范围是：A.[1,3]B.(3,)C.(,1)(3,)D.(,1)[迁移]已知函数f(x)1x3x23x4，直线l：9x2yc0，若当x[2,2]时，33函数yf(x)的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是学习必备欢迎下载简答1、[巩固1]（，-1）∪（0，1），[巩固2]当a=0时不等式的解为：{x|x<1}；当a>0时不等式的解为：{x|a1a1}；[迁移]9。aa2、[巩固]{x|x1或x1}，[迁移]（-2，2），3、[巩固1]C，[巩固2]（-3，]24、[巩固1](,0)(3,)[巩固2]x∈(0,1][4,5)；5、[巩固1]A，[巩固2]{1，2]36．[巩固1][-2，0]，[巩固2]C,[迁移]（-，-6）
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