会计学1数学物理方法第二章-第一讲§2.1复变函数的积分§2.2柯西积分定理§2.3不定积分§2.4科西积分公式本章基本内容:第1页/共33页重点内容:(1)柯西积分定理(单、复连通区域)(2)柯西积分公式(单、复连通)(3)高阶导数公式及其应用第2页/共33页定义2.1.1有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)如果曲线是开口弧段，若规定其端点为起点，为终点，则沿曲线从到的方向为曲线的正方向（简称正向），把正向曲线记为或.而由到的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为.§2.1复变函数的积分第3页/共33页(2)如果是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向．(3)如果是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则的正方向这样规定：当人沿曲线行走时，区域总保持在人的左侧。因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．简单开曲线简单闭曲线开曲线闭曲线第4页/共33页定义2.1.2复变函数的积分设函数在给定的光滑或逐段光滑曲线上有定义，且是以为起点，为终点的一条有向曲线，如图2.1所示．把曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为,在某小弧段上任意取一点，并作和其中，记的最大长度为定义2.1.2复变函数的积分设函数在给定的光滑或逐段光滑曲线上有定义，且是以为起点，为终点的一条有向曲线，如图2.1所示．把曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为,在某小弧段上任意取一点，并作和其中，记的最大长度为第5页/共33页第6页/共33页则当n无限增大，且时，如果无论对L的分法及的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作，即我们称之为复变函数的积分，简称复积分．第7页/共33页定义2.1.3闭合环路积分当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为并称为复变函数的闭合环路积分（简称环路积分）.为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向,若沿逆时针方向积分，可用环路积分
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示.若沿顺时针方向积分，可用表示.第8页/共33页如果、都用代数式表示，即由曲线积分的定义得到于是，复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的曲线积分。第9页/共33页2.1.3复积分的基本性质第10页/共33页(1)若沿可积，且由和连接而成，则(2)常数因子可以提到积分号外，即(3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即第11页/共33页(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即为的负向曲线．(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即这里表示弧长的微分，即第12页/共33页（6）积分估值定理若沿曲线，连续，且在上满足，则其中为曲线的长度．第13页/共33页【证明】由于在上恒有，所以又，则成立。第14页/共33页2.1.4复积分的计算典型实例例1计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段．第15页/共33页【解】直线的方程可写成或于是或由由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．第16页/共33页第17页/共33页第18页/共33页§2.2柯西积分定理第19页/共33页一、与柯西积分定理有关的几个概念：单连通域：当区域D内任意简单曲线的内部全是D的点，则称D为单连通域。多连通域：不是单连通的区域称为多连通域，也称复连通域。N重多连通域：区域的边界可分为没有公共点的N部分时，称为N重多连通域。第20页/共33页一、单连通区域的柯西积分定理早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）．定理2.2.1（柯西积分定理）如果函数在单连通区域内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域解析），那么函数沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即或第21页/共33页证明：如图2.2所示，由于函数在闭区域解析，故函数的导数即在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的．再根据格林定理有第22页/共33页由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件代入即得第23页/共33页推论1：设函数在单连通区域内解析，是内任意闭曲线，则第24页/共33页说明：[1]根据第一章，函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；[2]边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．第25页/共33页第26页/共33页二、复连通区域的柯西积分定理第27页/共33页或采用另一种形式表示为第28页/共33页不失一般性，取n＝1进行证明.有下述定理：定理2.2.3设L和为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图2.5所示，在L内部且彼此不相交，以和L为边界所围成的闭区域全含于D．则对于区域D内的解析函数f(z)，有或第29页/共33页总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：(i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；(ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；(iii)在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和．第30页/共33页例3计算其中L是以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数．第31页/共33页第32页/共33页
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